Ecuación en integrodiferencia

En matemáticas, una ecuación de integrodiferencia es una relación de recurrencia en un espacio funcional, de la siguiente forma:

$n_{t+1}(x)=\int _{\Omega }k(x,y)\,f(n_{t}(y))\,dy,$

donde $\{n_{t}\}\,$ es una secuencia en el espacio de funciones y $\Omega \,$ es el dominio de esas funciones. En la mayoría de las aplicaciones, para cualquier $y\ in\ Omega\,$, $k(x,y)\,$ es una función de densidad de probabilidad en $\ Omega\,$. Tenga en cuenta que en la definición anterior, $n_{t}$ puede tener valores vectoriales, en cuyo caso cada elemento de $\{n_{t}\}$ tiene asociada una ecuación de integrodiferencia de valor escalar. Las ecuaciones de integrodiferencia se usan ampliamente en biología matemática, especialmente ecología teórica, para modelar la dispersión y el crecimiento de las poblaciones. En este caso, $n_{t}(x)$ es el tamaño o la densidad de la población en la ubicación $x$ en el momento $t$, $f(n_{t}(x))$ describe el crecimiento de la población local en la ubicación $x$ y $k(x,y)$, es la probabilidad de moverse desde el punto $y$ al $x$, a menudo denominado núcleo de dispersión. Las ecuaciones de integrodiferencia se usan más comúnmente para describir las poblaciones de univoltinos, incluidas, entre otras, muchas especies de artrópodos y plantas anuales. Sin embargo, las poblaciones multivoltinas también pueden modelarse con ecuaciones integrodiferenciales,​ siempre que el organismo tenga generaciones no superpuestas. En este caso, $t$ no se mide en años, sino más bien el incremento de tiempo entre las crías.

Núcleos de convolución y velocidades de invasión

En una dimensión espacial, el núcleo de dispersión a menudo depende solo de la distancia entre la fuente y el destino, y puede ser escrito como $k(x-y)$. En este caso, algunas condiciones naturales en f y k implican que existe una Velocidad de propagación para olas de invasión generadas a partir de condiciones iniciales compactas. La velocidad de la ola se calcula a menudo. estudiando la ecuación linealizada

$n_{t+1}=\ int_{-\ infty}^{\ infty}k(x-y)Rn_{t}(y)dy$

donde $R=df/dn(n=0)$. Esto se puede escribir como la convolución.

$n_{t+1}=f'(0)k*n_{t}$

Usando una transformación de la función generadora de momentos.

$M(s)=\ int_{-\ infty}^{\ infty}e^{sx}n(x)dx$

Se ha demostrado que la velocidad de onda crítica

$c^{*}=\ min_{w>0}\ left[\ frac{1}{w}\ ln\ left(R\ int_{-\ infty}^{\ infty}k(s)e^{ws}ds\ right)\ right]$

Otros tipos de ecuaciones usadas para modelar dinámica de población a través del espacio incluyen reacción-difusión ecuaciones y metapoblación ecuaciones. Sin embargo, las ecuaciones de difusión no permiten tan fácilmente la inclusión de patrones de dispersión explícitos y solo son biológicamente precisas para poblaciones con generaciones superpuestas.​ Las ecuaciones de metapoblación son diferentes de las ecuaciones de integrodiferencia en el hecho de que dividen la población en parches discretos en lugar de un paisaje continuo.

Referencias

• Datos: Q6043371