Ecuación trascendente

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Una ecuación trascendente es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que aparecen una o más incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas, que no son únicamente algebraicas, y cuya solución no puede obtenerse empleando solo las herramientas propias del álgebra.

Definición[editar]

Una ecuación que no se reduce a una ecuación algebraica mediante transformaciones algebraicas se denomina ecuación trascendente.[1]

Transformación algebraica[editar]

Por transformaciones algebraicas de la ecuación

F(x) = 0\,

se entiende las siguientes transformaciones:

  1. La adición a ambos miembros de la ecuación una misma expresión algebraica
  2. La multiplicación de ambos miembros de la ecuación por una misma expresión algebraica.
  3. La elevación de ambos miembros de la ecuación mediante un exponente racional[2]

Las ecuaciones tracendentes más simples son las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales[3] El término trascendente se refiere a que la ecuación o su resolución va más allá del álgebra; trasciende el álgebra

Las soluciones de muchas ecuaciones trascendentes se han obtenido tradicionalmente (antes de la aparición de los ordenadores) por métodos numéricos, aproximando la solución mediante iteraciones sucesivas.

Algunas ecuaciones trascendentes[editar]

\ \alpha = \tan(\alpha)

Esta ecuación admite infinitas soluciones, la menor solución estrictamente positiva se da para el valor \scriptstyle \alpha = 4,493409\, (que usualmente se interpreta como el valor en radianes de un ángulo). Otras soluciones son:

\alpha = 7,7252;\quad 10,9042;\quad 14,0661;\quad 17,2208; \dots

Para grandes valores de n existen soluciones cercanas a \scriptstyle (2n+1)\pi/2. Además si \scriptstyle \alpha = \beta es solución entonces \scriptstyle \alpha = -\beta también es solución. Todas las soluciones son de multiplicidad simple excepto \scriptstyle \alpha = 0 que es de multiplicidad 2.
  • La ecuación trascedente

e^{cx}= ax+b

tiene una única solución que puede expresarse en términos de la función W de Lambert:

x_0 = \frac{1}{c}
\left[ W\left( -\frac{c}{b}e^{-\frac{c^2}{b}}\right) - \frac{c^2}{b} \right]

Método de las tangentes[editar]

Encontrar la raíz positiva de la ecuación xarctgx - 1 = 0, utilizando el método de las tangentes. Previamente se hará un esbozo de dicho método conocido también como el método de Newton-Raphson.

Esbozo[editar]

Supongamos que en el intervalo de aislación de la raíz ξ de la ecuación f(x) = 0 se cumplen las condiciones[4]

  1. Las funciones f(x), f '(x) y f ' ' (x) son continuas en el intervalo [a, b];
  2. f(a)f(b) < 0;
  3. La funciones f'(x) y f''(x) no cambian de signo en [a,b].

Entonces los números xn (n= 1,2,3,---) se determinan por la fórmula recursiva

xn = xn-1 - f(xn-1)/f ' (xn-1)

siendo

 x_{0} = \left\{\begin{matrix} 
a, & \mbox{si } f(a)\cdot f(c) < 0,  \\ 
b, & \mbox{si } f(a)\cdot f(c) > 0,  \\ 
c, & \mbox{si } f(c) = 0 \end{matrix}\right.

donde

c = a - \frac{(b - a) f(a)}{f(b) - f(a)}

Resolución de un caso[editar]

Precisamente, el caso de la ecuación trascendente x \arctan x - 1 =0. Mediante gráficas de de la función f(x) = 1/x y de la de g(x) = arctg x se ve que el intervalo [1; \sqrt{3}.] permite detectar la raíz positiva. Por cuanto que para la función f(x) = x \arctan x - 1 =0 se obtiene

c = 1- (\sqrt{3} - 1)f(1)/[f(\sqrt{3}) - f(1) = 1,1527608

entonces para encontrar los números xn, se va a emplear la fórmula recursiva,conocida como método de Newton

xn = xn-1 - f(xn-1)/ f '(xn-1); x0 = \sqrt{3}., luego de dos pasos resulta
ξ = 1,16239±0,00004[5]

Referencias[editar]

  1. Manual de matemáticas (1985) Tsipkin, Editorial Mir, Moscú; traducción de Shapovalova, pg. 170
  2. Ibídem, pg. 170
  3. Ibídem, pg. 170
  4. "Problemas de matemáticas superiores" (1983) Bolgov y otros; Editorial Mir, Moscú; pg. 310
  5. Ibídem, pg. 311

Véase también[editar]