Ecuación diferencial ordinaria de Riccati

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La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibniz, Goldbach, Juan Bernoulli y sus hijos Nicolás y Daniel Bernoulli, y posteriormente, a Euler.[1]

Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:

.

Integración[editar]

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, sea .

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

y reemplazando, se obtiene:

Todo esto esta mal. es decir:

lo que equivale a:

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Observación[editar]

Obsérvese que si se hace la sustitución:

propuesta por Euler en la década de 1760[2]​ esto lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

Aplicación a la ecuación Schwarziana[editar]

Una aplicación importante de la ecuación de Riccati es en la ecuación diferencial Schwarziana de 3er orden

que ocurre en la teoría del mapeo conforme y funciones univalentes. En este caso, los EDO están en el dominio complejo y la diferenciación es con respecto a una variable compleja. (El derivado de Schwarzian tiene la notable propiedad de que es invariante bajo las transformaciones de Möbius, es decir, siempre que sea no cero.) La función satisface la ecuación de Riccati

Por lo anterior donde es una solución del ODE lineal

Dado que , la integración da por alguna constante . Por otro lado, cualquier otra solución independiente o de la ODE lineal tiene un Wronskiano constante distinto de cero que se puede tomar para ser después de escalar.

Entonces

para que la ecuación de Schwarz tenga solución

Notas[editar]

  1. Historia de las matemáticas, de Ribnikov, Librería Científica, Lima. pag. 258.
  2. Ibídem, pag. 258.