Distribución logarítmica

En teoría de la probabilidad, la distribución logarítmica es una distribución de probabilidad discreta derivada de la expansión en series de Maclaurin

$-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .$

A partir de ella, se obtiene

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.$

Por lo tanto, los valores

$f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}$

pueden interpretarse como los pesos de una distribución de probabilidad, que es, precisamente, la logarítmica (de parámetro p).

La función de probabilidad acumulada es

$F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$

donde B es la función beta incompleta.

Relación con otras distribuciones

renzo se la come completa de acuerdo con la distribución de Poisson sigue una distribución binomial negativa. Dicho de otro modo, si N es una variable aleatoria de Poisson y X_i, i = 1, 2, 3, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias que siguen la distribución logarítmica de parámetro p, entonces la variable aleatoria

$\sum _{n=1}^{N}X_{i}$

sigue una ley binomial negativa.

Historia

R.A. Fisher describió esta distribución en un artículo en el que se describía la abundancia relativa de especies en un determinado hábitat.​

Véase también

• Distribución de Poisson

Bibliografía

• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel (2005). «Chapter 7: Logarithmic and Lagrangian distributions». Univariate discrete distributions (3 edición). John Wiley & Sons. ISBN 9780471272465. 
• Weisstein, Eric W. «Log-Series Distribution». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.