Diagrama de árbol

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Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol. Ejemplo: Si Juan tiene 3 pantalones y 2 camisas basta multiplicar 3x2=6 y son 6 posibilidades de que se pueda vestir.


El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.

Ejemplos

Una universidad está formada por tres facultades:

  • La 1ª con el 50% de estudiantes.
  • La 2ª con el 25% de estudiantes.
  • La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

Árbol con el planteamiento del problema.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

Árbol con la probabilidad de encontrar una mujer en la primera facultad.


P(alumna \ de \ la \ 1^a \ facultad) = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3


¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

Árbol con la probabilidad de encontrar un varón en la universidad.


P(alumno \ var\acute{o}n) = 0,5 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,4= 0,4 pero también podría ser lo contrario.

Relación con probabilidad condicionada[editar]

Esta herramienta está fundamentada en el cálculo de probabilidades condicionadas.

  • Por ejemplo podemos identificar el 0,6 que encotramos en la rama que va de 1ª facultad a mujer como la siguiente probabilidad condicionada:
P(mujer \mid 1^a \ facultad)=0.6
  • También esta herramienta se relaciona con algunos teoremas de la probabilidad condicionada
Dado que las tres facultades forman una partición del espacio muestral podemos indicar como:
\scriptstyle P(alumno \ var\acute{o}n)=P(var\acute{o}n \mid 1^a \ facultad) \cdot P(1^a \ facultad)+P(var\acute{o}n \mid 2^a \ facultad) \cdot P(2^a \ facultad)+P(var\acute{o}n \mid 3^a \ facultad) \cdot P(3^a \ facultad)
P(alumno \ var\acute{o}n)=0.5 \cdot 0.4+0.25 \cdot 0.4+0.25 \cdot 0.4=0.4

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