Cuadrado perfecto

En matemáticas, un número cuadrado, a veces denominado cuadrado perfecto, es la multiplicación de un entero por sí mismo. En otras palabras, un número cuya raíz cuadrada es un número entero. De esta forma, por ejemplo, 9 es un cuadrado ya que puede ser escrito como 3 × 3. Si los números racionales fueran incluidos en la definición, entonces la razón de dos enteros cuadrados es igualmente un cuadrado (por ejemplo: 4/9 = 2/3 × 2/3).

Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados (excepto el 1) se denomina número libre de cuadrados.

Propiedades

El número m es un cuadrado de un número si y sólo si uno puede colocar m puntos en un cuadrado:

La fórmula más general para el n-ésimo número cuadrado es n². Este resultado es también igual a la suma de los primeros n números impares, tal y como puede verse en

$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)$

como puede ser visto en las ilustraciones superiores, donde un cuadrado resulta de los anteriores mediante la adicción de un número impar de puntos (marcado con una '+'). De esta forma, por ejemplo se tiene que: 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

El teorema de cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro perfectos cuadrados. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4^k(8m + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la factorización en números primos no contiene potencias impares de la forma 4k + 3. Esta es una generalización del problema de Waring.

Un número cuadrado puede ser terminado en los dígitos 00,1,4,6,9, o 25 en base 10, como sigue:

1. Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedente dígitos deben ser también un cuadrado.
2. Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado acaba en 1 y el número formado por su precedente debe ser divisible por cuatro.
3. Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado acaba en 4 y el precedente dígito debe ser un número par.
4. Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado acaba en el dígito 9 y el número formado por su precedentes dígitos debe ser divisible entre cuatro.
5. Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado acaba en 6 y el precedente dígito debe ser impar.
6. Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado acaba en 25 y los precedentes dígitos deben ser 0, 2, 06, o 56.

Cuadrados como sumas

El n-ésimo número cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (n − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (n − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 ($n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2$). Por ejemplo, 2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

Es a menudo útil notar que el cuadrado de cualquier número puede ser representado como la suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por ejemplo, el cuadrado de 4 o 4² es igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este es el resultado de añadir una columna y columna de grosor uno al grafo cuadrado de lado tres (como en un tablero de tres en raya). Se puede añadir también tres lados y cuatro a la parte superior para obtener un cuadrado. Esto puede ser también útil para encontrar el cuadrado de un número grande de forma inmediata. Por ejemplo, el cuadrado de 52 = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

Un número cuadrado puede ser considerado también como la suma de dos consecutivos números triangulares. La suma de dos consecutivos números cuadrados es un número cuadrado centrado. Cada cuadrado impar es además un número octogonal centrado.

Números cuadrados impares y pares

Los cuadrados de números pares, desde (2n)² = 4n².

Los cuadrados de números impares desde (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

De esto se sigue que las raíces cuadradas de los cuadrados de los números pares son pares, y las raíces cuadradas de los números impares son igualmente impares. Este hecho se emplea mucho en las demostraciones (Véase raíz cuadrada de 2).

Teorema de Chen

Chen Jingrun demostró en 1975 que siempre existe un número p, que es o bien primo o bien producto de dos primos, entre n² y (n + 1)². Véase también conjetura de Legendre.

Bibliografía

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X

Véase también

• Paradoja de Galileo

Enlaces externos

• http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM es un applet JAVA que descompone un número natural dado en la suma de cuatro cuadrados.