Coordenadas baricéntricas (n-simplex)

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Las coordenadas baricéntricas permiten parametrizar mediante n+1 números reales en el intervalo [0,1] el interior de un n-simplex. En realidad, de las n+1 coordenadas baricéntricas sólo n son independientes, ya que la suma de todas es igual a uno.

Triángulo[editar]

Coordenadas baricéntricas en un triángulo equilátero y en un triángulo recto.

Como ejemplo introductorio se considera un triángulo en el plano euclídeo de vértices , y , entonces cualquier punto del interior del triángulo puede ser representado por tres coordenadas baricéntricas tales que:

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

En concreto el lado se caracteriza por tener , el lado tiene , y el lado . El baricentro coincidirá con el punto . El triángulo estará formado por todos los puntos del conjunto T:

El lado a (opuesto al vértice A) será el conjunto de puntos:

(left)

y análogamente los lados b y c por lo que la frontera del triángulo estará formada por los puntos tales que alguna de sus coordenadas baricéntricas sea cero. Y los vértices satisfacen que una de sus coordenadas baricéntricas es uno y las otras son nulas.

Tetraedro[editar]

La construcción anterior puede ampliarse a un tetraedro, no necesariamente regular, en el espacio euclídeo . Si los vértices del tetraedro en cuestión son , , y , entonces cualquier punto del interior del tetraedro puede ser representado por cuatro coordenadas baricéntricas tales que:

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

El baricentro coincidirá con el punto . Dado un punto P si ninguna de las coordenadas baricéntricas es cero el punto será un interior, si sólo una de ellas es cero será un punto interior a una de las caras del tetraedro, si dos y sólo dos de las coordenadas baricéntricas son cero el punto será el interior de una arista y si tres de las coordenadas baricéntricas son cero (y por tanto la otra igual a 1) el punto será un vértice.

n-simplex[editar]

Dado un n-simplex en el espacio euclídeo , se pueden definir las coordenadas baricéntricas generalizadas. Si los n+1 vértices del n-simplex son:

entonces cualquier punto del interior del simplex puede ser representado por n+1 coordenadas baricéntricas tales que:

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

El baricentro coincidirá con el punto .