Conjunto vacío

El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos.

En matemáticas, específicamente en teoría de conjuntos, el conjunto vacío es el conjunto que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único.

En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula. Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío.

Notación

El conjunto vacío es denotado por los símbolos:

$\varnothing \,{\acute {\text{o}}}\;\emptyset \,$

derivados de la letra Ø. Esta notación fue introducida por André Weil en 1939.​

Otra notación común para el conjunto vacío es la notación extensiva, especificando sus elementos (ninguno) entre llaves:

$\{\}\,$

platanos con xrema=a dos entre 500

Propiedades

El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades generales:

El conjunto vacío es único: dado dos conjuntos sin elementos, ambos son iguales. (Esto justifica hablar de "el conjunto vacío" y no de "un conjunto vacío"). El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo: $A\subseteq \varnothing \;{\text{ solo si }}\;A=\varnothing$ El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su número cardinal) es cero; en particular, el conjunto vacío es un conjunto finito : $|\varnothing |=0$

Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:

Sea una propiedad expresada mediante un predicado (como "ser mortal" o "ser un número primo"). Entonces todos los elementos del conjunto vacío poseen esa propiedad.

Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir "todo hombre en Ø; es inmortal" es lo mismo que afirmar que "no hay ningún hombre mortal en Ø", y esto último es trivialmente cierto.

Además, el conjunto vacío actúa como el cero en las operaciones del álgebra de conjuntos:

Para todo conjunto A, el conjunto vacío es subconjunto de A: $\varnothing \subseteq A$ Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto vacío es A: $A\cup \varnothing =A$ Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto vacío resulta en el conjunto vacío: $A\cap \varnothing =\varnothing$ Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío: $A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing$

Adicionalmente, el conjunto potencia del conjunto vacío es el mismo Ø. Por lo tanto, el número cardinal de P(Ø)=1, considerando que el cardinal del conjunto vacío es cero.

Problemas comunes

El conjunto vacío, a pesar de contener nada, sigue siendo algo en sí mismo: un conjunto. Esta distinción es importante si situamos a los conjuntos en un contexto. Por ejemplo, si imaginamos a los conjuntos como bolsas, capaces de contener distintos elementos, el conjunto vacío sería aquella bolsa sin elementos dentro; pero aun así seguiría siendo una bolsa.

Es por esto que el conjunto potencia siempre contiene al conjunto vacío.

Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, por lo tanto, el conjunto vacío es vacío en el sentido de su cardinalidad (que es igual a 0), y no en el sentido de su identidad.

Véase también

• Álgebra de conjuntos
• Conjunto
• Teoría de conjuntos

Referencias

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.