Diferencia entre revisiones de «Congruencia (teoría de números)»
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==Entre Polígonos== |
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Se define la congruencia entre dos [[polígono]]s como una correspondencia biunívoca entre sus vértices tal que sus ángulos correspondientes sean congruentes (tengan la misma medida) y los lados correspondientes sean también congruentes (tengan la misma longitud). |
Se define la congruencia entre dos [[polígono]]s como una correspondencia biunívoca entre sus vértices tal que sus ángulos correspondientes sean congruentes (tengan la misma medida) y los lados correspondientes sean también congruentes (tengan la misma longitud). pico palk lo lee |
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== Véase también == |
== Véase también == |
Revisión del 16:44 30 jul 2010
Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros y tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural , llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación
que se expresa diciendo que es congruente con módulo . Las siguientes expresiones son equivalentes:
- Es congruente con módulo
- El resto de entre es el resto de entre
- divide exactamente a la diferencia de y
- se puede escribir como la suma de y un múltiplo de
El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo y cada entero no divisible por tenemos la congruencia:
Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuales son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por y , es decir puede ser cualquier entero de las sucesiones y . Contrariamente la congruencia , no tiene solución.
La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.
Propiedades
La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar algunas:
- La congruencia para un módulo fijo es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:
- reflexividad:
- simetría: si entonces también
- transitividad: si y entonces también .
- Si es coprimo con y , entonces también es coprimo con .
- si y es un entero entonces también se cumple
- y:
- si además es coprimo con , entonces podemos encontrar un entero , tal que
y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que
donde por definición ponemos .
- Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:
- y
podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias
- y
Entre Polígonos
Se define la congruencia entre dos polígonos como una correspondencia biunívoca entre sus vértices tal que sus ángulos correspondientes sean congruentes (tengan la misma medida) y los lados correspondientes sean también congruentes (tengan la misma longitud). pico palk lo lee