Cardinal límite

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En teoría de conjuntos, los cardinales límite son un tipo especial de cardinales:

  • Un número cardinal λ es un cardinal límite débil si λ no es ni un cardinal sucesor ni cero. Esto significa que uno no puede "llegar" a λ por un proceso reiterado de buscar el número cardinal siguiente (por esa razón todos los números naturales no son cardinales límites, ya que se puede llegar a ellos a partir de un número anterior reiterativamente). Estos cardinales a veces se llaman simplemente "cardinales límites" cuando el contexto está claro.
  • Un número cardinal es un cardinal límite fuerte si λ no puede ser alcanzado mediante aplicaciones reiteradas de exponenciación. Esto significa que λ > 0 y que, para todo κ < λ, 2κ < λ. Todo cardinal límite fuerte es también un cardinal límite débil, porque κ+ ≤ 2κ para cualquier cardinal κ, donde κ+ designa el sucesor del cardinal κ.

El primer cardinal infinito, (álef 0), es un cardinal límite fuerte y por tanto también un cardinal límite débil.

Construcciones con cardinales límite[editar]

Una manera de construir cardinales límite es mediante la operación de unión. Por ejemplo, álef omega es un cardinal límite débil, definido como la unión de todos los álef más pequeños que él (recuérdese que un número cardinal puede concebirse como un conjunto transitivo); y en general para cualquier ordinal límite es un cardinal límite débil.

La función ב puede usarse para obtener cardinales límite fuertes. Esta función se define como una aplicación de los ordinales en los cardinales mediante la siguiente definición recursiva:

(es el ordinal no numerable más pequeño)
Si λ es un oridinal límite,

El cardinal

es un cardinal límite fuerte de cofinalidad ω. Más en general, dado cualquier ordinal α, el cardinal

es un cardinal límite fuerte. Y por tanto, existen cardinales límite fuerte arbitrariamente grandes.


Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]