Característica (matemática)

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En álgebra abstracta, la característica de un anillo es definida como el entero positivo más pequeño tal que . Si no existe tal , se dice que la característica de es 0.

De forma alternativa y equivalente, podemos definir la característica del anillo como el único número natural tal que contenga un subanillo isomorfo al anillo cociente .

El caso de anillos[editar]

Si y son anillos y existe un homomorfismo de anillos

,

entonces la característica de divide la característica de . Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo trivial, el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial no tienen ningún divisor de cero, entonces su característica es 0 ó primo. En particular, esto se aplica a todo cuerpo, a todo dominio de integridad y a todo anillo de división. Todo anillo de característica 0 es infinito.

El anillo de los enteros módulo tiene característica . Si es un subanillo de , entonces y tienen la misma característica. Por ejemplo, si es un polinomio primo con coeficientes en el cuerpo donde es primo, entonces el anillo factor es un cuerpo de característica . Como los números complejos contienen a los racionales, su característica es 0.

Si un anillo conmutativo tiene característica prima , entonces se tiene que para todo elemento e en .

La aplicación

define un homomorfismo de anillos

,

Este es llamado el homomorfismo de Frobenius. Si es un dominio de integridad este es inyectivo.