Caída libre

Caída libre de una pelota. Se muestra, mediante fotografía estroboscópica, la posiciones de la pelota a intervalos regulares de tiempo.

En mecánica, se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio. Aunque esta definición formal excluye la influencia de otras fuerzas, como la resistencia aerodinámica, frecuentemente éstas deben ser tenidas en cuenta cuando el fenómeno tiene lugar en el seno de un fluido, como el aire o cualquier otro fluido.

El concepto es aplicable incluso a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la acción desaceleradora de la gravedad o a un satélite (no propulsado) en órbita alrededor de la Tierra.

Otros sucesos referidos también como caída libre lo constituyen la trayectoria geodésica en el espacio-tiempo descrita en la teoría de la relatividad general.

Ejemplos de caída libre (deporte) los encontramos en actividades deportivas​​ tales como dejarse caer una persona a través de la atmósfera sin sustentación aeronáutica o sin paracaídas desplegado.

== La caída libre es hacia arriba Un sistema de referencia ligado a un cuerpo en caída libre puede considerarse inercial o no inercial en función del marco teórico que esté utilizándose.

En la física clásica, la fuerza gravitatoria que se ejerce sobre una masa es proporcional a la intensidad del campo gravitatorio en la posición espacial donde se encuentre dicha masa. La constante de proporcionalidad es precisamente el valor de la masa inercial del cuerpo, tal y como establece el principio de equivalencia. En la física relativista, la gravedad es el efecto que produce sobre las trayectorias de los cuerpos la curvatura del espacio-tiempo; en este caso, la gravedad no es una fuerza, sino una geodésica. Por tanto, desde el punto de vista de la física clásica, un sistema de referencia en caída libre es un sistema acelerado por la fuerza de la gravedad y, como tal, es no inercial. Por el contrario, desde el punto de vista de la física relativista, el mismo sistema de referencia es inercial, pues aunque está acelerado en el espacio, no está acelerado en el espacio-tiempo. La diferencia radica en la propia definición de los conceptos geométricos y cinemáticos, que para cada marco teórico son completamente diferentes.

Caída libre ideal

Animación de la caída libre.

En la caída libre propiamente dicha o ideal, se desprecia la resistencia aerodinámica que presenta el aire al movimiento del cuerpo, analizando lo que pasaría en el vacío. En esas condiciones, la aceleración que adquiriría el cuerpo sería debida exclusivamente a la gravedad, siendo independiente de su masa; por ejemplo, si dejáramos caer una bala de cañón y una pluma en el vacío, ambos adquirirían la misma aceleración, $g\,$, que es la aceleración de la gravedad y por tanto, caerían al mismo tiempo.

Por el contrario, cuando la caída tiene lugar en el seno de un fluido (como el aire), hay que considerar la resistencia aerodinámica que actúa sobre el cuerpo. Aunque técnicamente ya no es libre, esta caída se describe matemáticamente con las mismas ecuaciones del movimiento de caída libre, pero agregando el término aerodinámico correspondiente.

Ecuación del movimiento

Por la segunda ley de Newton, la fuerza $\mathbf {F}$ que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de su masa $m\,$ por la aceleración que adquiere. En caída libre sólo intervienen el peso $\mathbf {P}$ (vertical, hacia abajo) y el rozamiento aerodinámico $\mathbf {f} (v)$ en la misma dirección, y sentido opuesto a la velocidad. Dentro de un campo gravitatorio aproximadamente constante, la ecuación del movimiento de caída libre es:

$\mathbf {F} =\mathbf {P} +\mathbf {f} =-mg{\mathbf {j} }-f{\frac {\mathbf {v} }{v}}=m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

La aceleración de la gravedad $g\,$ lleva signo negativo porque se toma el eje vertical como positivo hacia arriba.

Trayectoria en caída libre

Caída libre totalmente vertical

El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g) (aproximadamente porque la aceleración aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable). La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:

(1)$-mg+f=ma_{y}\,$

donde:

$a_{y},v_{y}\;$, son la aceleración y la velocidad verticales.

$f\;$, es la fuerza de rozamiento fluidodinámico (que aumenta con la velocidad).

• Si, en primera aproximación, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solución de la ecuación diferencial (1) para las velocidades y la altura vienen dada por:

${\begin{matrix}v_{y}(t)=v_{0}-gt\\y(t)=h_{0}+v_{0}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\end{matrix}}$

donde v₀ es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v₀ = 0 y h₀ es la altura inicial de caída.

• Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracaídas) es necesario tener en cuenta la resistencia fluidodinámica que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinámico k_w:

(2)$-mg-k_{w}v_{y}=ma_{y}\,$

En este caso la variación con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solución de la ecuación diferencial (2):

${\begin{cases}v_{y}=v_{0}e^{-k_{w}t/m}+{\cfrac {mg}{k_{w}}}(e^{-k_{w}t/m}-1)\\y=h_{0}-{\cfrac {mgt}{k_{w}}}+m\left({\cfrac {mg+k_{w}v_{0}}{k_{w}^{2}}}\right)(e^{-k_{w}t/m}-1)\end{cases}}$

Nótese que en este caso existe una velocidad límite dada por el rozamiento aerodinámico y la masa del cuerpo que cae:

$v_{\infty }=\lim _{t\to \infty }v_{y}(t)=-{\frac {mg}{k_{w}}}$

• Un análisis más cuidadoso de la fricción de un fluido revelaría que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse laminar, sino turbulento y se producen remolinos alrededor del objeto que cae de tal manera que la fuerza de fricción se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:

(3)$ma_{y}=m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-mg-\epsilon {\frac {C_{d}}{2}}\rho A_{t}v_{y}^{2}$

Donde:

$C_{d}\;$, es el coeficiente aerodinámico de resistencia al avance, que sólo depende de la forma del cuerpo.

$A_{t}\;$, es el área transversal a la dirección del movimiento.

$\rho \;$, es la densidad del fluido.

$\epsilon =sgn(v_{y})\;$, es el signo de la velocidad.

La velocidad límite puede calcularse fácilmente poniendo igual a cero la aceleración en la ecuación (3):

$v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{C_{d}\rho A_{t}}}}$

La solución analítica de la ecuación diferencial (3) depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solución analítica es diferente para un cuerpo que sube o para uno que cae. La solución de velocidades para ambos casos es:

${\begin{cases}v_{y}(t)={\sqrt {\cfrac {g}{\alpha }}}\tan \left(-t{\sqrt {{\alpha }{g}}}+\arctan \left(v_{0}{\sqrt {\cfrac {\alpha }{g}}}\right)\right)&v_{y}(t)>0\\v_{y}(t)={\sqrt {\cfrac {g}{\alpha }}}\tanh \left(-t{\sqrt {{\alpha }{g}}}-{\mbox{arctanh}}\left(v_{0}{\sqrt {\cfrac {\alpha }{g}}}\right)\right)&v_{y}(t)\leq 0\end{cases}}$

Donde: $\alpha =C_{d}\rho A_{t}/2m\;$.

Si se integran las ecuaciones anteriores para el caso de caída libre desde una altura $h_{0}$ y velocidad inicial nula y para el caso de lanzamiento vertical desde una altura nula con una velocidad inicial $v_{0}$ se obtienen los siguientes resultados para la altura del cuerpo:

Caída libre ($v_{0}=0$ y $y(0)=h_{0}$):

$y(t)=h_{0}-{\cfrac {1}{\alpha }}\ln \left[\cosh \left(-t{\sqrt {{\alpha }{g}}}\right)\right]$

El tiempo transcurrido en la caída desde la altura $y=h_{0}$ hasta la altura $y=0$ puede obtenerse al reordenar la ecuación anterior:

$t(0)-t(h_{0})={\cfrac {1}{\sqrt {{\alpha }{g}}}}{\mbox{arccosh}}\left(e^{{\alpha }h_{0}}\right)$

Lanzamiento vertical ($v_{0}=v_{0}$ y $y(0)=0$):

$y(t)={\cfrac {1}{\alpha }}\ln \left[{\cfrac {\cos \left[-t{\sqrt {{\alpha }{g}}}+\arctan \left(v_{0}{\sqrt {\cfrac {\alpha }{g}}}\right)\right]}{\cos \left[{\mbox{arctan}}\left(v_{0}{\sqrt {\cfrac {\alpha }{g}}}\right)\right]}}\right]$

Si la altura $h_{0}$ es aquella en que la velocidad vertical se hace cero, entonces el tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta el instante en que se alcanza la altura $h_{0}$ puede calcularse como:

$t(h_{0})-t(0)={\cfrac {1}{\sqrt {{\alpha }g}}}{\mbox{arctan}}\left(v_{0}{\sqrt {\cfrac {\alpha }{g}}}\right)={\cfrac {1}{\sqrt {{\alpha }g}}}{\mbox{arccos}}\left(e^{-{\alpha }h_{0}}\right)$

Se puede demostrar que el tiempo que tarda un cuerpo en caer desde una altura $h_{0}$ hasta el suelo a través del aire es mayor que el que tarda el mismo cuerpo en alcanzar la alura máxima de $h_{0}$ si es lanzado desde el suelo. Para ello basta con probar la desigualdad siguiente:

${\mbox{arccosh}}\left(e^{{\alpha }h_{0}}\right)>{\mbox{arccos}}\left(e^{-{\alpha }h_{0}}\right)$

$\forall \alpha ,h_{0}>0$

sabiendo que ${\mbox{arccosh}}\left(e^{{\alpha }h_{0}}\right)\in \left[1,+\infty \right)$ y que ${\mbox{arccos}}\left(e^{-{\alpha }h_{0}}\right)\in \left[0,{\cfrac {\pi }{2}}\right]$

Caída libre parabólica y casi-parabólica

Cuando un cuerpo cae en caída libre pero no parte del reposo porque tiene una velocidad no nula, entonces la trayectoria de caída no es una recta sino una curva aproximadamente parabólica. La ecuación de la trayectoria en coordenadas cartesianas viene dada por:

(4)${\frac {dy}{dx}}={\frac {v_{y}}{v_{x}}}\qquad \qquad {\begin{cases}v_{y}(0)=0\\v_{x}(0)=V_{x}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}y(0)=h_{0}\\x(0)=0\end{cases}}$

Rozamiento -k_wv. Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal β = 1,5 - 2,5 - 3,5 - 4,5, desde una altura h = 7δ.

Rozamiento -C_wv². Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal β = 1,5 - 2,5 - 3,5 - 4,5, desde una altura h = 7δ.

donde x es la coordenada horizontal (eje de abcisas) e y la coordenada verttcal (eje de ordenadas).

La expresión de la velocidad vertical debe reescribirse en función de la coordenada x teniendo en cuenta que t = x/v_x. Pueden distinguirse los siguientes casos:

• Para un cuerpo en caída libre sin rozamiento, la trayectoria es exactamente una parábola dada por:

$y(x)=h_{0}-{\frac {gx^{2}}{2V_{x}^{2}}}$

• Cuando se incluye el rozamiento aerodinámico, la trayectoria no es exactamente una parábola. Por ejemplo para una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad como en la (2) la trayectoria resulta ser:

$y(x)=h_{0}-\delta \left[{\frac {x}{\beta \delta }}-\ln \left(1-{\frac {x}{\beta \delta }}\right)\right]\qquad {\begin{cases}\delta =gm^{2}/k_{w}^{2}\\\beta =V_{x}k_{w}/mg\end{cases}}$

Para una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, la integración de las ecuaciones del movimiento es más compleja, presuponiendo fuerzas de rozamiento independientes en dirección horizontal y vertical proporcionales al cuadrado del valor de la componente:

${\begin{cases}{\cfrac {dv_{x}}{dt}}=-C_{w}v_{x}^{2}\\{\cfrac {dv_{y}}{dt}}=+C_{w}v_{y}^{2}-g\end{cases}}$

La trayectoria viene dada por:

$y(x)=h_{0}-\delta \ln \left[\cosh \left({\frac {e^{x/\delta }-1}{\beta }}\right)\right]\qquad {\begin{cases}\delta =1/C_{w}\\\beta ={\sqrt {g/(C_{w}V_{x}^{2})}}\end{cases}}$

Las figuras adjuntas muestran la forma de las trayectorias para cinco valores diferentes del parámetro β para una misma altura de caída (medida en unidades de longitud δ).

Caída libre desde grandes alturas

La caída libre desde grandes alturas en un campo gravitatorio aproximadamente esférico, como es el caso del campo gravitatorio terrestre, requiere correcciones importantes ya que en ese caso ni la magnitud ni la dirección de la fuerza gravitatoria son constantes. Concretamente para un campo gravitatorio newtoniano con simetría esférica, cuando podemos ignorar el rozamiento con la atmósfera, la trayectoria es un arco elipse.

Mayor caída libre a la que se ha sobrevivido

El 26 de enero de 1972, Vesna Vulović, azafata de las Aerolíneas JAT, sobrevivió a una caída libre de 10.000 m​ cuando iba a bordo del vuelo 367. Una explosión en el avión dio lugar a que éste cayera sobre Srbská Kamenice, en la entonces Checoslovaquia (ahora República Checa). La azafata sufrió roturas en el cráneo y en tres vértebras y estuvo en coma durante 27 días. Una vez recuperada, comentó que, según el hombre que la encontró, ella se encontraba en la parte central del avión, con uno de sus compañeros encima. Una parte de su cuerpo estaba dentro del fuselaje, pero la cabeza estaba por fuera; un carrito de comidas clavado en su columna la mantenía dentro del avión. El hombre que la encontró, un médico alemán que la trató in situ, aseguró que tuvo mucha suerte.

En la segunda Guerra Mundial, hubo varios informes sobre militares de la armada aérea que sobrevivieron a grandes caídas. Nick Alkemade, Alan Magee, y Ivan Chisov cayeron como mínimo 5500 m.

La caída libre no debe confundirse con personas que sobreviven a vuelo controlado contra el terreno.

Se conoce que dos de las víctimas de Vuelo 103 de Pan Am sobrevivieron durante un corto periodo de tiempo tras el choque del avión contra el suelo (con la parte de delante del avión fuselaje en el modo de caída libre), pero murieron debido a sus graves heridas antes de que llegara la ayuda.

Un paracaidista de Staffordshire se lanzó desde una altura de 6000 pies (1828,8 m) sin paracaídas en Rusia y vivió para contarlo. James Boole, de Tamworth, asegura que otro paracaidista debió darle una señal para abrir su paracaídas, pero la señal le llegó dos segundos tarde. El señor Boole, que estaba grabando al otro paracaidista para un documental de televisión, aterrizó en una zona de rocas cubiertas por nieve, y sufrió rotura de espalda y costilla.

Récords en caída libre

Joseph Kittinger comenzando el salto que batió el récord de caída libre.

Según el libro Guinness, Eugene Andreev ostenta el récord oficial por la caída libre más larga después de recorrer 24.500 m sin paracaídas, desde una altura de 25.460 m, cerca de la ciudad rusa de Sarátov, el 1 de noviembre de 1962. Aunque saltos posteriores han partido desde alturas más grandes, Andreev batió el récord sin utilizar parafrenos durante el salto.

Durante los últimos años de la década de los 50, el capitán estadounidense Joseph Kittinger fue asignado a los Laboratorios de investigación médica aeroespacial, en Dayton, Ohio. Como parte del Proyecto Excelsior de investigacíon de la caída libre desde mucha altura, Kittinger hizo una serie de tres saltos llevando trajes a presión.

El primero, desde 23.290 m en noviembre de 1959 fue casi una tragedia porque hubo un error en el equipo, que causó la pérdida de conocimiento de Kittinger; pero el paracaídas automático le salvó, y aterrizó en un edificio dando vueltas a 120 revoluciones por minuto. La aceleración de sus extremidades llegó a superar 22 veces la de la gravedad, batiendo así un nuevo récord. Tres semanas después, volvió a saltar desde 22.770 m. Por ese salto fue premiado con la medalla Leo Stevents de paracaidismo.

El 16 de agosto de 1960, Kittinger realizó el último salto desde el Excelsior III a 31.330 m utilizando un pequeño parafrenos para estabilizarse. Cayó durante 4 minutos y 36 segundos, alcanzando una velocidad máxima de 988 km/h antes de abrir su paracaídas a 4.270 m. La presión de su guante derecho falló durante el ascenso, y su mano se hinchó hasta alcanzar dos veces el tamaño normal. Kittinger batió los récords de subida en globo más alta, salto de paracaídas más alto, caída más larga (4 minutos) y velocidad más rápida alcanzada por el hombre en la atmósfera.^{[cita requerida]}

Véase también

• Mecánica clásica
• Movimiento parabólico

Bibliografía

• Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8. 
• Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. 
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 

Enlaces externos

• Caída Libre en Relatividad Especial
• Applet de Caída Libre

• Joe W. Kittinger y el escalón más alto del mundo articulo de Gregory Kennedy sobre el proyecto EXCELSIOR y el salto de Kittinger en 1960