CW-complejo

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En Topología y Geometría, un complejo celular o CW-Complejo es un tipo de espacio topológico que en cierta manera se asemeja a una variedad topológica. Son espacios muy utilizados en Topología (especialmente en Topología Algebraica) y en Geometría Diferencial. Las letras CW significan Closure finite-Weak topology , topología débil de clausura finita.

Definición[editar]

Célula[editar]

En Topología se denomina célula a un espacio topológico e que es homeomorfo a algún espacio euclídeo real. Es decir, existirá algún entero no negativo n \geq 0 de manera que e \sim \mathbb{R}^n (donde \sim representa la relación “ser homeomorfo a”). En ese caso se dirá que e es una n-célula, y que la dimensión de e es n (denotado por |e|:=dim(e)=n).

Descomposición celular[editar]

Sea X un espacio topológico. Se dice que el par (X, \mathcal{E}) es una descomposición celular de X si \mathcal{E} es una partición de X en células, es decir, cada elemento de \mathcal{E} es una célula, X es la unión de todos los elementos de \mathcal{E} y dos elementos distintos de \mathcal{E} son disjuntos (si e_1,e_2 \in \mathcal{E} y e_1 \neq e_2, entonces e_1 \cap e_2 = \varnothing).

Todo espacio topológico admite alguna descomposición celular.

Dados un número entero positivo n una descomposición celular (X, \mathcal{E}) de X, se denomina conjunto de n-células a la unión de todas las células de dimensión n (es decir, a \bigcup_{e \in \mathcal{E}:|e|=n}e). Se denomina así mismo n-esqueleto al conjunto X^n := \bigcup_{e \in \mathcal{E}:|e|\leq n}e, es decir, a la unión de los conjuntos de m-células, cuando m \leq n.

Si existiese algún n \in \mathbb{Z}^+ de forma que X = X^n, diremos que X tiene dimensión finita. En ese caso, al menor n \in  \mathbb{Z}^+ de forma que X = X^n se le denomina dimensión de X (n = dim(X)). En caso contrario (es decir, si X no es de dimensión finita) se dice que la dimensión de X es infinita (dim(X)= \infty). Como antes, en principio esta definición de dimensión no tiene ninguna relación con la definición algebraica de dimensión para espacios vectoriales. Sin embargo, se cumple que si X es un espacio euclídeo real o un espacio normado, ambas definiciones son equivalentes.

Complejos celulares[editar]

Sea (X, \mathcal{E}) una descomposición celular. Se dice que (X, \mathcal{E}) es un complejo celular (o un CW-complejo, o un CW-espacio, o un espacio CW, o que (X, \mathcal{E}) es una CW-descomposición de X, o que (X, \mathcal{E}) es una descomposición de tipo CW de X) si se cumple las siguientes condiciones:

  • Axioma M, o condición de la aplicación característica: Para cada célula e \in \mathcal{E} existe una aplicación continua (denominada aplicación característica para la célula e) \Phi_e : \overline{B}^n \longrightarrow X de tal forma que \Phi_e|{B^n} es un homeomorfismo entre B^n y e, y \Phi_e (S^{n-1}) \subseteq X^{n-1} (donde aquí n = dim(e), \overline{B}^n := \{x \in \mathbb{R}^n: ||x||\leq 1\}, es decir, \overline{B}^n representa a la bola cerrada de \mathbb{R}^n centrada en le origen y de radio 1, B^n := \{x \in \mathbb{R}^n: ||x|| < 1\}, es decir, B^n representa a la bola abierta de \mathbb{R}^n centrada en el origen y de radio 1 y S^{n-1} := \{x \in \mathbb{R}^n: ||x||= 1\} es la esfera de \mathbb{R}^n centrada en el origen y de radio 1). A la restricción de \Phi_e a S^{n-1} (esto es a \phi_e := \Phi_e|_{S^{n-1}}) se la denomina aplicación sujeción para la célula e.
  • Axioma C, o condición de clausura finita: Dada una célula e \in \mathcal{E}, su clausura \overline{e} está contenida en la unión de un número finito de células. Esto es, \overline{e} tiene intersección no vacía sólo con una cantidad finita de células.
  • Axioma W, o condición de topología débil: un conjunto F \subset X es cerrado cuando y sólo cuando F \cap \overline{e} lo es (cerrado) en \overline{e}, cualquiera que sea la célula e \in \mathcal{E}.