Base canónica

En álgebra lineal, sea un espacio vectorial sobre un cuerpo de escalares $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ , la base canónica o base usual es una colección de vectores linealmente independientes cuyo número coincide con la dimensión del propio espacio vectorial.

De entre las (infinitas) bases existentes, la base canónica está normalizada, es decir, los módulos de los vectores son unitarios, o lo que es lo mismo, valen una unidad métrica, según el sistema de referencias utilizado.

Además, en geometría euclidiana, los vectores de la base se fijan a un punto de aplicación común, que es el punto de origen del sistema de referencia o punto cero.

Todas estas características hacen que la base canónica sea única para cada espacio vectorial.

Utilizando el operador interno aditivo (adición de vectores) y operador externo producto (producto de un escalar por un vector) característicos de todo espacio vectorial, generan combinaciones lineales de la siguiente forma:

Sean λ , μ , ν (se leen respectivamente: lambda, mu, nu) - una forma de representar a tres números cualesquiera (o escalares) reales o complejos.

Sea la base canónica para el espacio euclídeo ${\mathcal {B}}=\{i,j,k\}$ para el espacio $\mathbb {R} ^{3}$ , siendo sus coordenadas referidas en ese espacio: $\{i(1,0,0);j(0,1,0);k(0,0,1)\}\,$

Un vector cualquiera $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}$ puede ser representado a través de una combinación lineal:

a(a_{x},a_{y},a_{z})=\lambda \mathbf {i} +\mu \mathbf {j} +\nu \mathbf {k}

Ejemplo

v(-1,5,3)=-\mathbf {i} +5\mathbf {j} +3\mathbf {k}

El subespacio vectorial de las rectas afines

Una recta (la llamamos ${\overline {XX'}}\;$ ) está formada por un entramado infinito de puntos, si asociamos un vector director $mathbfi$ a dicha recta. Cualquier vector contenido en ${\overline {XX'}}\;$ tendrá la forma:

\mathbf {v} =\lambda \cdot \mathbf {i} \forall {\overrightarrow {v}}\in \mathbb {V} ,\forall \lambda \in \mathbb {R}

siendo el parámetro λ un número real que multiplicado por el vector canónico $\mathbf {i}$ genera cualquier vector contenido en dicha recta.

El número real λ a través de la operación producto de un escalar por un vector genera un conjunto de infinitos vectores, todos ellos, pertenecientes al subespacio vectorial real $\mathbb {V}$ , el vector $\mathbf {i}$ al tener de módulo la unidad, realiza conversiones de escalares a vectores de la siguiente forma:

Módulo de $\mathbf {v} \Rightarrow ||{\overrightarrow {v}}\|=\lambda$

Dirección: Otorgado por el escalar λ y en función del signo que tenga, y el vector $\mathbf {i}$ , al ser director de la recta XX', tiene la misma dirección que dicha recta, en caso de vector libre, paralelo a dicha recta.

\lambda >0\Rightarrow \mathbf {v} =\lambda \cdot \mathbf {i} >0

y su dirección es hacia la derecha de la recta: X

\lambda <0\Rightarrow \mathbf {v} =\lambda \cdot \mathbf {i} <0

y su dirección es hacia la izquierda de la recta: X'

Por otro lado, es inevitable la existencia del vector $\mathbf {0}$ , cuando λ = 0, el vector nulo es un vector especial ya que carece de módulo, en consecuencia, su dirección podría ser cualquiera, es una anomalía algebráica necesaria para fundamentar la estructura, ya que es consecuencia inmediata de la existencia del número cero proveniente del cuerpo de escalares.

Esta discusión es válida para cualquiera de los otros ejes coordenados ${\overline {YY'}}\;$ y ${\overline {ZZ'}}\;$

Construcción del plano afín y espacio euclídeo

Construcción mediante suma directa de subespacios vectoriales

Considerando cada una de las rectas como variedades de un mismo tipo de subespacio vectorial, las denotaremos como $\mathbb {V} _{x}(\mathbb {R} )$ , $\mathbb {V} _{y}(\mathbb {R} )$ y $\mathbb {V} _{z}(\mathbb {R} )$ las respectivas de los ejes de referencia: X , Y, Z.

La suma directa de estos subespacios vectoriales de dimensión unitaria es factible debido a que se cumple la condición que el único elemento que tienen en común es el punto {0}, es decir que:

\mathbb {V} _{x}(\mathbb {R} )\cap \mathbb {V} _{y}(\mathbb {R} )\cap \mathbb {V} _{z}(\mathbb {R} )={0}

Plano afín

La suma directa de los subespacios de las rectas afines X e Y generan el subespacio vectorial afín para el plano XY, considerado espacio vectorial del plano afín $\mathbb {V} ^{2}(\mathbb {R} )$ o sencillamente $\mathbb {V} ^{2}$ .

Siendo la dimensión de este espacio 2 (largo × ancho):

{\text{dim}}({V_{x}}\oplus {V_{y}})=2

solamente se requieren dos vectores (a lo sumo) para obtener una base de este e.v.

La base canónica estará formada por los vectores $\mathbf {i} (1,0),\mathbf {j} (0,1)$

Para todo $\mathbf {u} \in \mathbb {V} _{x}(\mathbb {R} )$ y $\mathbf {v} \in \mathbb {V} _{y}(\mathbb {R} )$ se verifica que, la suma de ambos vectores es un nuevo vector de dimensión superior y perteneciente a $\mathbb {V} _{x}(\mathbb {R} )\oplus \mathbb {V} _{y}(\mathbb {R} )$ .

En coordenadas de la base canónica:

u(\lambda ,0);v(0,\mu )\longrightarrow u+v(\lambda ,\mu )

Espacio euclídeo

Si además, introducimos como sumando al subespacio vectorial asociado al eje z, obtenemos el espacio vectorial euclídeo:

({V_{x}}\oplus {V_{y}}\oplus {V_{z}})

{\text{dim}}({V_{x}}\oplus {V_{y}}\oplus {V_{z}})=3

La dimensión es 3 (largo x ancho x alto), luego se requieren al menos tres vectores para constituir la base, siendo la base canónica la constituida por los vectores $\{i(1,0,0);j(0,1,0);k(0,0,1)\}\,$

Este espacio tiene las siguientes notaciones:

{V_{x}}\oplus {V_{y}}\oplus {V_{z}}\;\thickapprox \mathbb {V} _{x}(\mathbb {R} )\oplus \mathbb {V} _{y}(\mathbb {R} )\oplus \mathbb {V} _{z}(\mathbb {R} )\thickapprox \mathbb {V} ^{3}(\mathbb {R} )\thickapprox \mathbb {V} ^{3}

Considerando que la recta que contiene el eje de cotas es una variedad del mismo tipo de subespacio vectorial que existe en las rectas que contienen a los otros ejes , se denota como $\mathbb {V} _{z}(\mathbb {R} )$ .

Para todo $\mathbf {u} \in \mathbb {V} _{x}(\mathbb {R} )$ , $\mathbf {v} \in \mathbb {V} _{y}(\mathbb {R} )$ y $\mathbf {w} \in \mathbb {V} _{z}(\mathbb {R} )$ se verifica que, la suma de estos tres vectores es un nuevo vector de dimensión tres y perteneciente a $\mathbb {V} ^{3}(\mathbb {R} )\thickapprox \mathbb {V} _{x}(\mathbb {R} )\oplus \mathbb {V} _{y}(\mathbb {R} )\oplus \mathbb {V} _{z}(\mathbb {R} )$

En coordenadas de la base canónica para $\mathbb {V} _{3}$

u(\lambda ,0,0);v(0,\mu ,0);w(0,0,\nu )\longrightarrow u+v+w(\lambda ,\mu ,\nu )

Construcción mediante producto cartesiano

Basándonos nuevamente en los subespacios vectoriales asociados a la recta afín, podemos obtener los espacios vectoriales afín y euclídeo usando el producto cartesiano.

El espacio vectorial afín se genera a partir del cartesiano de los subespacios asociados a los ejes de abscisas y ordenadas.

[\mathbb {V} _{x}(\mathbb {R} )\;\mathbf {X} \;\mathbb {V} _{y}(\mathbb {R} )]\thickapprox \mathbb {V} _{x}\;\mathbf {X} \;\mathbb {V} _{y}

.

De esta forma se generan pares ordenados de elementos en la forma $(x,y),x\in \mathbb {V} _{x}(\mathbb {R} ),y\in \mathbb {V} _{y}(\mathbb {R} )$ .

Esta es la forma en que se expresa un vector de $\mathbb {V} ^{2}(\mathbb {R} )$ mediante coordenadas.

Si añadimos en el cartesiano, el factor $\mathbb {V} _{z}(\mathbb {R} )$ , obtenemos el conjunto espacio vectorial euclídeo.

\mathbb {V} _{x}(\mathbb {R} )\;\mathbf {X} \;\mathbb {V} _{y}(\mathbb {R} )\;\mathbf {X} \;\mathbb {V} _{z}(\mathbb {R} )\qquad \thickapprox \qquad \mathbb {V} _{x}\;\mathbf {X} \;\mathbb {V} _{y}\;\mathbf {X} \;\mathbb {V} _{z}\qquad

.

\qquad

Los pares ordenados que se generan, están basados en el producto cartesiano anterior

\mathbb {V} _{x}\;\mathbf {X} \;\mathbb {V} _{y}\;

(x,y)\in \;\mathbb {V} _{x}\;\mathbf {X} \;\mathbb {V} _{y}\;,z\in \;\mathbb {V} _{z}

.

La bina será de la forma [(x,y), z] por lo que es más eficaz establecer la terna ( x, y, z) como las coordenadas del vector $\mathbf {a}$ $\in \;\mathbb {V} ^{3}$ .

Combinaciones lineales por componentes del espacio vectorial euclídeo

En los ejes X de abscisas, Y de ordenadas, Z de cotas, los vectores $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ genera a todos los vectores contenidos en la recta correspondiente. Tomando un escalar para cada vector $\lambda ,\mu ,\nu \in \mathbb {R}$ :

\mathbf {u} =\lambda \mathbf {i} =\lambda (1,0,0)=(\lambda ,0,0)

\mathbf {v} =\mu \mathbf {j} =\mu (0,1,0)=(0,\mu ,0)

\mathbf {w} =\nu \mathbf {k} =\nu (0,0,1)=(0,0,\nu )

Los vectores unitarios $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ toman un número real o escalar y lo transforman dotándolo de carácter vectorial, otorgándole una dirección. Siendo paralelo respectivamente al eje de abscisas, ordenadas, o cotas, dependiente del valor –positivo o negativo– de λ, μ, ν correspondiente, el cual define la dirección del vector resultante.

Relación entre coordenadas de un vector y proyección sobre ejes coordenados afines

Un vector del plano que tenga de coordenadas (λ, μ) es generado mediante combinación lineal de los vectores $\mathbf {u}$ y $\mathbf {v}$ definidos anteriormente, por lo que se establece que:

\mathbf {u} +\mathbf {v} =\lambda \mathbf {i} +\mu \mathbf {j} =\lambda (1,0)+\mu (0,1)=(\lambda ,\mu )

De esta forma, es fácil comprender que los vectores componentes son en realidad proyecciones del vector $\mathbf {w}$ respecto a los ejes cartesianos.

Para un vector cualquiera que esté en el plano afín XY, éste tendrá la siguiente forma:

w=(w_{x},w_{y})\,

siendo

w_{x}

y

w_{y}

las componentes de las coordenadas del vector

\mathbf {w}

respecto a la base canónica del plano afín.

Si cada componente es considerado como un vector, se tiene que:

\mathbf {w} _{x}

está situado en el eje de abscisas y ha sido generado por

\mathbf {i}

\mathbf {w} _{y}

está situado en el eje de ordenadas y ha sido generado por

\mathbf {j}

.

El vector $\mathbf {w}$ es la suma de ambos componentes:

\mathbf {w} =\mathbf {w} _{x}+\mathbf {w} _{y}

.

Y si resulta que el vector $\mathbf {w} _{x}$ es α veces mayor que $\mathbf {i}$ y el vector $\mathbf {w} _{y}$ es β veces mayor que $\mathbf {j}$ se obtiene que los vectores pueden ser expresados de esta manera:

\mathbf {w} _{x}=\alpha \mathbf {i}

\mathbf {w} _{y}=\beta \mathbf {j}

Y dado que la suma de ambos es precisamente $\mathbf {w}$ , entonces:

\mathbf {w} =\alpha \mathbf {i} +\beta \mathbf {j}

lo que expresa la combinación lineal de la base canónica y su relación con las coordenadas de un vector cualquiera del plano afín.

Entonces:

\mathbf {w} =\alpha (1,0)+\beta (0,1)=(\alpha ,0)+(0,\beta )=(\alpha ,\beta )

De esta forma se hace corresponder lo siguiente:

\mathbf {w} _{x}=(\alpha ,0)=(w_{x},0)

\mathbf {w} _{y}=(0,\beta )=(0,w_{y})

La norma de los vectores proyectados corresponde a la distancia desde origen al punto de corte existente entre el punto final del vector y la recta coordenada correspondiente.

La base canónica además de generar el subespacio vectorial, le induce su métrica, quedando cada punto de dicho plano perfectamente ubicado gracias al sistema de coordenadas introducido. Cada punto de dicho plano quedaría apuntado por un vector posición que partiendo del origen, llegase a dicho punto. Sea dicho punto, el punto P, el vector posición sería OP.

Tanto el punto P, como el vector OP compartirían las mismas coordenadas (x, y) donde 'x' será la distancia al origen en el eje de abscisas e 'y' lo mismo para el eje de ordenadas.

Existe una correspondencia biunívoca entre puntos del plano y vectores posición (isomorfía fundamental). Todo vector del plano admite una descomposición única en proyecciones sobre los ejes coordenados. La base canónica del plano afín sólo requiere dos vectores al ser la dimensión de éste 2.

{\mathcal {B}}=\{i,j\}=\{i(1,0);j(0,1)\}

Esta misma explicación es extensible al espacio euclídeo tridimensional.

Base canónica del espacio euclídeo

A partir del plano XY que contiene los ejes coordenados (abscisas y ordenadas) es posible establecer un nuevo sistema de referencia para el espacio tridimensional.

Si se toma un eje, al que se llamará eje de cotas, y su notación ${\overline {\mathbb {ZZ'} }}$ .

El eje de cotas está situado perpendicularmente al plano XY y lo atraviesa por el punto (0, 0) u origen de coordenadas, cortando a los otros dos ejes. Es decir que:

{\overline {\mathbb {XX'} }}\bigcap {\overline {\mathbb {YY'} }}\bigcap {\overline {\mathbb {ZZ'} }}=\{0\}

Lo que hace que el punto cero (0, 0, 0) sea el único punto del espacio donde los tres ejes de coordenados se encuentran.

La base canónica del espacio euclídeo debe de estar compuesta por tres vectores linealmente independientes, que sean ortogonales y estén normalizados.

Los vectores i , j y k cumplen con estas condiciones, además son únicos, ya que de entre todos los posibles, son los más sencillos de todos.

{\mathcal {B}}=\{i,j,k\}

para el espacio

\mathbb {V} ^{3}(\mathbb {R} )

, siendo sus coordenadas referidas en ese espacio:

\{i(1,0,0);j(0,1,0);k(0,0,1)\}\,

Un vector $x\in \mathbb {V} ^{3}(\mathbb {R} )$ forma una combinación lineal única con los vectores de la base de la siguiente forma:

Observando la figura, el sistema de coordenadas está formado por las rectas: ${\color {BlueViolet}{\mbox{x (eje de abscisas)}}}$ , ${\color {Red}{\mbox{y (eje de ordenadas)}}}$ y ${\color {PineGreen}{\mbox{z (eje de cotas)}}}$ .

Los vectores directores de cada una de las rectas de los ejes de coordenadas que conforman la base canónica son: ${\color {BlueViolet}{\mbox{i}}}$ , ${\color {Red}{\mbox{j}}}$ y ${\color {PineGreen}{\mbox{k}}}$ .

El vector $\mathbf {a} _{x}$ es generado por $\mathbf {\color {BlueViolet}{\mbox{i}}}$ de tal forma que es λ veces mayor que éste.

El vector $\mathbf {a} _{y}$ es generado por $\mathbf {\color {Red}{\mbox{j}}}$ de tal forma que es μ veces mayor que éste.

El vector $\mathbf {a} _{z}$ es generado por $\mathbf {\color {PineGreen}{\mbox{k}}}$ de tal forma que es ν veces mayor que éste.

Se verifican las siguientes igualdades:

a_{x}=\lambda \,

a_{y}=\mu \,

a_{z}=\nu \,

Debido a que los vectores de la base tienen módulo 1 (por definición, son unitarios).

Por lo tanto, los vectores $\mathbf {a_{x}}$ , $\mathbf {a_{y}}$ y $\mathbf {a_{z}}$ son las proyecciones del vector $\mathbf {a}$ :

\mathbf {a} =\mathbf {a_{x}} +\mathbf {a_{y}} +\mathbf {a_{z}}

Es por lo que:

a(a_{x},a_{y},a_{z})=\lambda \mathbf {i} +\mu \mathbf {j} +\nu \mathbf {k} =\lambda (1,0,0)+\mu (0,1,0)+\nu (0,0,1)=(\lambda ,0,0)+(0,\mu ,0)+(0,0,\nu )=(\lambda ,\mu ,\nu )

.

Véase también

Referencias

J. J. Lozano Lucea, J. L. Vigatá Campo (1992). Cálculo con vectores. Alhambra Longman. ISBN 84-205-2122-1.
Seymour Lipschutz (1992). Algebra Lineal (2 edición). McGraw-Hill Interamericana. ISBN 8476157584.