Axioma de Cantor-Dedekind
En lógica matemática, el axioma de Cantor-Dedekind es una proposición que afirma que los números reales poseen un orden isomorfo con respecto al continuo lineal de la geometría. En otras palabras, el axioma establece que existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos de una recta.[1]
Este axioma se convirtió en un teorema demostrado por Emil Artin en su libro Geometric Algebra. Más precisamente, los espacios euclídeos definidos sobre el cuerpo de los números reales satisfacen los axiomas de la geometría euclídea y, a partir de los axiomas de la geometría euclídea, se puede construir un cuerpo que sea isomorfo con respecto a los números reales.
La geometría analítica fue desarrollado a partir de las coordenadas cartesianas introducido por René Descartes, quien implícitamente asumió este axioma al combinar los distintos conceptos de números reales y de puntos en una recta, a veces denominada recta real. La demostración de Artin no solo hace explícita esta combinación, sino también que la geometría analítica es estrictamente equivalente a la geometría sintética tradicional, en el sentido de que se pueden demostrar exactamente los mismos teoremas en los dos sistemas.[2]
Otra consecuencia es que la demostración dada por Alfred Tarski de la decidibilidad de las teorías de primer orden de los números reales podría verse como un algoritmo para resolver cualquier problema de primer orden en la geometría euclídea.[3]
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ Rudiments of Mathematics Part 1. Academic Publishers. p. 12. ISBN 9788189781545. Consultado el 9 de junio de 2024.
- ↑ Schafer, Alice T. (1958). «Review of Geometric algebra by E. Artin». Bull. Amer. Math. Soc. 64: 35-37. doi:10.1090/S0002-9904-1958-10142-1.
- ↑ Surveys in Number Theory: Papers from the Millennial Conference on Number Theory. CRC Press. 2002. pp. 226 de 368. ISBN 9781000065282. Consultado el 9 de junio de 2024.
Bibliografía[editar]
- Artin, Emil (1988) [1957], Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., pp. x+214, ISBN 0-471-60839-4, MR 1009557, doi:10.1002/9781118164518.
- Ehrlich, P. (1994). "Introducción general". Números reales, generalizaciones de los reales y teorías de continua, vi–xxxii. Editado por P. Ehrlich, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht
- Bruce E. Meserve (1953) Fundamental Concepts of Algebra, p. 32, en Google Libros
- SER. Meserve (1955) Fundamental Concepts of Geometry, p. 86, en Google Libros
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