Arco máximo

Un arco máximo en un plano proyectivo finito es el mayor (k,d)-arco posible en ese plano proyectivo. Si el plano proyectivo finito tiene orden q (hay q+1 puntos en cualquier línea), entonces, para un arco máximo, k, el número de puntos del arco, es el máximo posible (= qd + d - q) con la propiedad de que ningún subconjunto de d+1 puntos del arco se encuentra en la misma línea.

Definición

Sea $\pi$ un plano proyectivo finito de orden q (no necesariamente desarguesiano). Los arcos máximos de grado d ( 2 ≤ d ≤ q- 1) son (k,d)-arcos en $\pi$, donde k es el valor máximo con respecto al parámetro d, es decir, k = qd + d - q.

De manera equivalente, se pueden definir arcos máximos de grado d en $\pi$ como conjuntos de K puntos no vacíos, de modo que cada línea interseque el conjunto en 0 o en d puntos.

Algunos autores permiten que el grado de un arco máximo sea 1, q o incluso q+ 1.​ Se establece que K es un (k, d)-arco máximo en un plano proyectivo de orden q, si

• d = 1, K es un punto del plano,
• d = q, K es el complemento de una línea (un plano afín de orden q), y
• d = q + 1, K es todo el plano proyectivo.

Todos estos casos se consideran ejemplos triviales de arcos máximos, que existen en cualquier tipo de plano proyectivo para cualquier valor de q. Cuando 2 ≤ d ≤ q- 1, el arco máximo se llama no trivial, y la definición dada anteriormente y las propiedades enumeradas a continuación se refieren a arcos máximos no triviales.

Propiedades

• El número de líneas que pasan por un punto fijo p, no en un arco máximo K, que intersecan a K en d puntos, es igual a $(q+1)-{\frac {q}{d}}$. Por tanto, d divide a q.
• En el caso especial de d = 2, los arcos máximos se conocen como hiperóvalos y solo pueden existir si q es par.
• Un arco K que tiene un punto menos que un arco máximo siempre puede extenderse de manera única a un arco máximo agregando a K el punto en el que todas las líneas que se encuentran con K en (d - 1) puntos se encuentran.​
• En PG(2,q) con q impar, no existen arcos máximos no triviales.​
• En PG(2,2^h), existen arcos máximos para cada grado 2^t, 1 ≤ t ≤ h.​

Geometrías parciales

Se pueden construir geometrías parciales a partir de arcos máximos:​

• Sea K un arco máximo con grado d. Considérese la estructura de incidencia $S(K)=(P,B,I)$, donde P contiene todos los puntos del plano proyectivo que no están en K, B contiene todas las líneas del plano proyectivo que cruzan a K en d puntos y la incidencia I es la inclusión natural. Esta es una geometría parcial: $pg(q-d,q-{\frac {q}{d}},q-{\frac {q}{d}}-d+1)$.
• Considérese el espacio $PG(3,2^{h})(h\geq 1)$ y sea K un arco máximo de grado $d=2^{s}(1\leq s\leq m)$ en un subespacio bidimensional $\pi$. Considérese también una estructura de incidencia $T_{2}^{*}(K)=(P,B,I)$ donde P contiene todos los puntos que no están en $\pi$, B contiene todas las líneas que no están en $\pi$ y que intersecan a $\pi$ en un punto en K, e I es de nuevo la inclusión natural. $T_{2}^{*}(K)$ es nuevamente una geometría parcial: $pg(2^{h}-1,(2^{h}+1)(2^{m}-1),2^{m}-1)\,$.

Bibliografía

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• Datos: Q6795634