Alef dos

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En matemáticas, se llama alef dos o \aleph_2 al cardinal transfinito del conjunto potencia de los números reales, y por tanto podría adoptarse como definición también \aleph_2 = 2^{\aleph_1}, por tanto, la cantidad de posibles subconjuntos de números reales es \aleph_2.

Ejemplos de conjuntos[editar]

Si se acepta como axioma la hipótesis del continuo generalizada puede probarse que \aleph_2 también es el cardinal del conjunto de todas las funciones reales ya que:

{\aleph_1}^{\aleph_1} = 2^{\aleph_1} = \aleph_2

Mientras que las funciones continuas tienen un cardinal

\aleph_1 ya que {\aleph_1}^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \aleph_1 < \aleph_2

Esto último se debe a que una función continua queda determinada si se especifica su valor sobre los números racionales que son numerables y por tanto tienen \aleph_0 como cardinal.

  • El conjunto de todas las funciones reales tiene cardinal \aleph_2 = \aleph_1^{\aleph_1}, sin embargo, el conjunto de las funciones continuas tiene cardinal \aleph_1 = \aleph_1^{\aleph_0}, ya que una función continua queda especificada si se conoce su valor sobre los números racionales, que son un conjunto numerable.
  • El conjunto de partes de cualquier espacio vectorial real o complejo de dimensión finita tiene también cardinal \aleph_2.

Véase también[editar]