Aleatoriedad estadística

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Una secuencia numérica se dice que es aleatoriedad estadística cuando no contiene patrones reconocibles o regularidades; secuencias como el resultado de una tirada de dados.[1] Existen diversas definiciones que tratan de formalizar la noción intuitiva anterior.

La aleatoriedad estadística no implica necesariamente aleatoriedad "verdadera". La secuencia pseudoaleatoria es suficiente para muchos usos.

Definiciones formales[editar]

Reales aletarorios[editar]

Un número real 0 < r = 0.r_1r_2r_3r_4\dots < 1 es b-normal (aleatorio en base b) si escrita como expresión numérica:

r = r_1 b^{-1} + r_2 b^{-2} + \dots = \sum_{k=1}^\infty r_k b^{-k}, \qquad r_k \in \{0,1,\dots, b-1\}

Si todas las secuencias de k dígitos que aparecen en la secuencia r_{m+1} r_{m+2} \dots r_{m+k} tienen la misma probabilidad p_k = 1/b^k. En los años 1920, Émile Borel conjeturó que la mayor parte de números reales eran aleatorios (concretamente que un número real escogido al azar es con probabilidad 1). Igualmente, la computación de números trascendentes como \pi o e sugieren que sus desarrollos decimales parecen b-normales (ver números de Stoneham). Sin embargo, demostrar formalmente que un número real es realmente b-normal se ha revelado auténticamente difícil. Sólo en 1973, Richard Stoneham demostró formalmente que algunos números reales son b-normales.[2]

La siguiente tabla muestra la aparente 10-normalidad de las cifras de \pi:

Secuencia Ocurrencias Secuencia Ocurrencias Secuencia Ocurrencias
0 99 993 942 00 10 004 524 000 1 000 897
1 99 997 334 01 9 998 250 001 1 000 758
2 100 002 410 02 9 999 222 002 1 000 447
3 99 986 911 03 10 000 290 003 1 001 566
4 100 011 958 04 10 000 613 004 1 000 741
5 99 998 885 05 10 002 048 005 1 002 881
6 100 010 387 06 9 995 451 006 999 294
7 99 996 061 07 9 993 703 007 998 919
8 100 001 839 08 10 000 565 008 999 962
9 100 000 273 09 9 999 276 009 999 059
__ __ 10 9 997 289 010 998 884
__ __ 11 9 997 964 011 1 001 188
__ __ ... ... ... ...
__ __ 99 10 003 709 099 999 201
__ __ __ __ ... ...
__ __ __ __ 999 1 000 905
Total 1000 000 000 Total 1000 000 000 Total 1000 000 000

Compresibilidad algorítimica[editar]

La complejidad de Kolmogórov puede pensarse como una cota inferior de la compresibilidad alogrítimica de una secuencia finita (de caracteres o dígitos binarios). Asigna a cada secuencia de ese tipo W un número natural K(w) que, intuitivamente, mide la mínima longitud de un programa informático (escrito en cierto lenguaje de programación fijo y preestablecido) que tiene input vacío y tiene como oputput la secuencia W cuando es ejecutado. Dado un número natural c y una secuencia w, decimos que w es c-incompresible si K(w) \geq |w| - c .

Una sucesión ifinita S es aleatoria en el sentido de Martin-Löf si y sólo si existe una constante c tal que todas las susecuencias iniciales finitas de S's son c-incompresibles.

Por ejemplo se conjetura que el número \pi es b-normal, sin embargo, es algorítimica compresible ya que es un número calculable mediante un procedimiento finito bien definido.

Referencias[editar]

  1. Pi seems a good random number generator – but not always the best, Chad Boutin, Purdue University
  2. Argón Artacho et al., 2013)

Bibliografía[editar]

  • F.J. Aragón Artacho, D.H. Bailey, J.M. Borwein, P.B. Borwein: "Walking on real numbers", The Mathematical Intelligencer, 35 (2013), no. 1, 42–60.