Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

Definición de subespacio vectorial

Sea $V_{}^{}$ un espacio vectorial sobre $K_{}^{}$ y $U\subset V$ no vacío, $U_{}^{}$ es un subespacio vectorial de $V_{}^{}$ si:

i)\;\;\forall u,v\in U,u+v\in U

ii)\;\forall u\in U,\forall k\in K,ku\in U

Consecuencias

Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.

Demostración
i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa. ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones. Luego para el elemento neutro de la suma éste se puede obtener como $0\cdot u$ , que $u+0\cdot u=(1+0)\cdot u=u$ y lo mismo para el elemento opuesto de la suma obtenido como $(-1)\cdot u$ , ya que $u+(-1)u=(1-1)\cdot u=0.$

Notaciones

Dado $F\,$ un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje $F+F\subset F$ , e incluso $F+F=F$ es correcto.

Demostración
Se quiere ver que $\forall w\in F+F\Leftrightarrow w\in F$ : $\Rightarrow )w\in F+F\Rightarrow \exists u,v\in F:w=u+v\Rightarrow w\in F.$ $\Leftarrow )w\in F\Rightarrow w=w+{\vec {0}}\Rightarrow w\in F+F$

Para ii) el abuso de lenguaje $\lambda F\subset F$ , e incluso $\lambda F=F,\;\;\forall \lambda \in K-\{0\}$ es correcto.

Demostración
$w\in F\Leftrightarrow {\frac {1}{\lambda }}w\in F\Leftrightarrow \lambda {\frac {1}{\lambda }}w\in \lambda F\Leftrightarrow w\in \lambda F$

Criterio de verificación

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector $rv+sw$ es también un elemento de U.

Ejemplos

Dado el espacio vectorial $\mathbb {R} ^{2}$ , sus elementos son del tipo $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ .

${\vec {0}},u$ y $\lambda u$ están alineados, $\forall u\in \mathbb {R} ^{2}$ , $\forall \lambda \in K.$
${\vec {0}},u,v$ y $u+v$ forman un paralelogramo si no están alineados, $\forall u,v\in \mathbb {R} ^{2}.$
Suma de 3 elementos.

El subconjunto

$U=\{(a,b):a+b=0\}$ .

es un subespacio vectorial.

Demostración
Por definición de U los elementos son de la forma $x=(x_{1},-x_{1})$ . ${\begin{matrix}Suma&+:&{\mathbb {R} ^{2}\times {}\mathbb {R} ^{2}}&\longrightarrow {}&{\mathbb {R} ^{2}}&\\&&{(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}&\mapsto &{(u_{1},-u_{1})+(v_{1},-v_{1})}&=((u_{1}+v_{1}),-(u_{1}+v_{1}))\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}Producto&\cdot {}:&{K\times {}V}&\longrightarrow {}&{V}&\\&&{(a,\mathbf {u} )}&\mapsto &a\cdot (u_{1},-u_{1})&=((a\cdot u_{1}),-(a\cdot u_{1}))\end{matrix}}$ como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de $\mathbb {R} ^{2}$ .

El subconjunto

$C=\{(a,b):b=a^{2}\}$

no es un subespacio vectorial.

Demostración
Nuevamente sólo es necesario verificar tres condiciones: la pertenencia del vector nulo y la cerradura de ambas operaciones. El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0². Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados: Los vectores (1, 1) y (2, 4) son elementos de C, pero su suma (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es, puesto que 5 no es igual a 3². El vector (2, 4) es un elemento de C, pero al multiplicarlo por el escalar 2 se obtiene (4, 8) que no es un elemento de C puesto que 8 no es igual a 4².

Operaciones con subespacios

Sea $(V,+,K,*)$ un espacio vectorial; $(S,+,K,*)$ y $(W,+,K,*)$ subespacios vectoriales de $V$ , se definen las siguientes operaciones:

Unión

$S\cup W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in S\ {\text{o}}\ \mathbf {v} \in W\right\}$
En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

Intersección

$S\cap W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in S\ {\text{y}}\ \mathbf {v} \in W\right\}$
La intersección de dos subespacios es un subespacio.

Suma

$S+W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} =(\mathbf {u_{1}} +\mathbf {u_{2}} )\wedge \mathbf {u_{1}} \in S\wedge \mathbf {u_{2}} \in W\right\}$
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".^[1]
Es decir que si $S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow S\oplus W$
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Subespacios suplementarios

Se dice que los subespacios $S$ y $W$ son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial $V$ :

$S\oplus W=\;V\;\leftrightarrow \;{\begin{cases}S+W=\;V\\S\cap W=\left\lbrace {\overset {\rightarrow }{0}}\right\rbrace \end{cases}}$

Dimensiones de subespacios

La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios $S$ y $W$ será igual a la dimensión del subespacio $S$ más la dimensión del subespacio $W$ menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:

$\dim(S+W)=\dim(S)+\dim(W)-\dim(S\cap W)$

Por ejemplo, siendo $\dim(S)=3$ y $\dim(W)=2$ y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, $\dim(S+W)=4$ .

En la suma directa

En el caso particular de la suma directa, como $S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow \dim(S\cap W)=0$ .
La fórmula de Grassmann resulta:

$\dim(S\oplus W)=\dim(S)+\dim(W)$

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría $\dim(S\oplus W)=5$ .