Producto semidirecto

En la teoría de grupos, un producto semidirecto describe una forma particular en la cual un grupo puede ser compuesto de dos subgrupos.

Definiciones equivalentes

Sea G un grupo, N un subgrupo normal de G (i. e., $N\triangleleft G$) y H un subgrupo de G. Son equivalentes:

• G = NH yN ∩ H = {e} (siendo e el elemento neutro deG)
• $\forall g\in G$ existen únicamente $h\in H,n\in N$ tales que g=hn

Si una, y por lo tanto todas estas condiciones se cumplen, entonces se dice que G es un producto semidirecto de N y H, escrito como $G=N\rtimes H,$ o que G se parte sobre N.

Ejemplos

• El grupo lineal general $GL_{n}(\mathbb {F} )$, donde $\mathbb {F}$ es un cuerpo de característica cero, es el producto semidirecto del grupo multiplicativo del cuerpo y el grupo lineal especial:

$GL_{n}(\mathbb {F} )=SL_{n}(\mathbb {F} )\rtimes \mathbb {F} ^{\times }$

Véase también

• Producto directo

Referencias

• R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge 2006. ISBN 1-4196-2722-8
• Weisstein, Eric W. «Semidirect Product». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q291126