Base de entornos

En Topología, un entorno de un punto es un conjunto que contiene un abierto al que pertenece el punto. Es decir, si $(X,T)$ es un espacio topológico, $a\in X$ y $V\subseteq X$, diremos que $V$ es entorno de $a$ si existe un $G\in T$ (es decir, $G$ es un conjunto abierto en $X$) de forma que $a\in G\subseteq V$.

Dado un punto $a\in X$, una base de entornos del punto es una familia de entornos de $a$ de manera que para cada entorno del punto, existe uno básico contenido. Es decir, $\beta (a)$ es base de entornos de $a$ si y sólo si:

$\forall V\in Ent(a),\exists U\in \beta (a):U\subseteq V$

Clases de bases de entornos

• Base de entornos abiertos: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto abierto.
• Base de entornos cerrados: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto cerrado.
• Base de entornos compactos: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto compacto.
• Base de entornos conexos: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto conexo.
• Base de entornos conexos por caminos: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto conexo por caminos.
• Base de entornos simplemente conexos: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto simplemente conexo.
• Base de entornos convexos: En un espacio vectorial topológico s una base de entornos de un punto en la que cada entorno es un conjunto convexo.

Sistema fundamental de vecindades

En el conjunto R de los reales, con la topología usual, los intervalos abiertos centrados en el punto x originan todas las vecindades de x de esta manera: toda vecindad de x contiene un intervalo abierto centrado en x. Se dirá que los intervalos abiertos centrados en x son un sistema fundamental de vecindades del punto x. Generalizando esta idea, se da la siguiente

Definición

Sean X un espacio topológico y x un punto de él. Una subfamilia Bc(x) de la familia Vc(x) de vecindades de x, es un sistema fundamental de vecindades de x, si para V vecindad de Vc(x) existe una vecindad U de Bc(x) tal que U sea subconjunto de V. Se denomina a los elementos de Bc(x) vecindades básicas de x.​

Ejemplos

• Si X es un espacio topológico discreto x un punto de X, entonces el conjunto unitario {x} es un sistema fundamental de x.
• Si X es el plano con la topología común de las bolas abiertas, justamente la colección de todas las bolas centradas en el punto x es un sistema fundamental de x. Asimismo la colección de todas las bolas abiertas con radio racional con centro en x.
• Para el conjunto R, con la topología del límite inferior,

B[ ) = {[a, b): a, b ∈ R con a < b}, forman un sistema fundamental de vecindades para a.

Véase también

• Topología
• Espacio topológico
• Entorno
• Abierto

• Datos: Q3275652