Seno del topólogo

El seno del topólogo, en topología, es una curva contenida en $\mathbb {R} ^{2}$ utilizada frecuentemente para ilustrar determinadas propiedades de los espacios topológicos.^[1] Se utiliza especialmente a modo de ejemplo de espacio topológico que es conexo pero no conexo por caminos.

Definición

Una definición usual del seno del topólogo es la adherencia de la curva

A=\{(x,{\mbox{sen}}({\tfrac {1}{x}})),\ x\in (0,1]\}

,

denotada ${\bar {A}}$ , y que se define a su vez como la unión de $A$ con su frontera, el segmento

\partial A=\{(0,y),\ y\in [-1,1]\}

A medida que x se acerca a cero, 1/x crece cada vez más rápido (de hecho, tiende a infinito), por lo que la frecuencia de la curva sinusoidal también es cada vez mayor. En el límite, la frecuencia es infinita.

Variantes

En ocasiones, se considera solamente $A$ , o la unión de $A$ con el punto $(0,0)$ . También se puede considerar la función $f(x)={\mbox{sen}}({\tfrac {1}{x}})$ definida en un intervalo distinto de (0,1],^[2] aunque siempre en un intervalo abierto en 0. Incluso se puede hacer distinción entre la «curva cerrada» ( ${\bar {A}}$ ) y la «curva abierta» ( $A$ ) del seno del topólogo.^[1]

Propiedades

Como adherencia de un conjunto conexo, ${\bar {A}}$ es un conjunto conexo. Sin embargo, no es conexo por caminos, pues no existe un camino $f:[0,1]\rightarrow {\bar {A}}$ que una los puntos $(1,{\mbox{sen}}(1))$ y $(0,0)$ . Para ver que es así, considérese la sucesión formada por los puntos, tomados de derecha a izquierda en la gráfica, cuya segunda componente es alternativamente +1 ó -1. Esta sucesión no converge.