Último teorema de Fermat
En teoría de números, el último teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Utilizando la notación moderna, se puede enunciar de la siguiente manera:
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El teorema fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles ayudado por el matemático Richard Taylor. La búsqueda de una demostración estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el siglo XX.
Introducción histórica
Pierre de Fermat escribió en el margen de su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto, traducido por Claude Gaspar Bachet, en el problema que trata sobre escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados (es decir, encontrar ternas pitagóricas):
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.Pierre de Fermat[1]
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Historia de la demostración del teorema
Pierre de Fermat
El primer matemático que consiguió avanzar sobre este teorema fue el propio Fermat, que demostró el caso n=4 usando la técnica del descenso infinito, una variante del principio de inducción.
Leonhard Euler
Leonhard Euler demostró el caso n = 3. El 4 de agosto de 1735 Euler escribió a Goldbach reclamando tener una demostración para el caso n = 3. En Álgebra (1770) se encontró una falacia en la demostración de Euler. Corregirla directamente era demasiado difícil, pero otros aportes anteriores de Euler permitían encontrar una solución correcta por medios más simples. Por esto se consideró que Euler había demostrado ese caso. Del análisis de la demostración fallida de Euler surgió la evidencia de que ciertos conjuntos de números complejos no se comportaban de igual manera que los enteros.
Sophie Germain
El siguiente mayor paso fue hecho por la matemática Sophie Germain. Un caso especial dice que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la expresión de la conjetura de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y ó z es divisible por p. En consecuencia la conjetura se divide en dos casos:
- Caso 1: Ninguno de los x, y, z es divisible por p.
- Caso 2: Uno y sólo uno de x, y, z es divisible por p.
Sophie Germain probó el caso 1 para todo p menor que 100 y Adrien-Marie Legendre extendió sus métodos a todos los números menores que 197. Aquí se encontró que el caso 2 no estaba demostrado ni siquiera para p = 5, por lo que fue evidente que era en el caso 2 en el que había que concentrarse. Este caso también se dividía entre varios casos posibles.
Ernst Kummer y otros
| Año | Acontecimiento |
|---|---|
| 1665 | Muere Fermat sin dejar constancia de su demostración. |
| 1753 | Leonhard Euler demostró el caso . |
| 1825 | Adrien-Marie Legendre demostró el caso para . |
| 1839 | Lamé demostró el caso n=7. |
| 1843 | Ernst Kummer afirma haber demostrado el teorema pero Dirichlet encuentra un error. |
| 1995 | Andrew Wiles publica la demostración del teorema. |
No fue hasta 1825 cuando Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Legendre generalizaron para n=5 la demostración de Euler. Lamé demostró el caso n=7 en 1839.
Entre 1844 y 1846 Ernst Kummer demostró que la factorización no única podía ser salvada mediante la introducción de números complejos ideales. Un año después Kummer afirma que el número 37 no es un primo regular (Ver: Números de Bernoulli). Luego se encuentra que tampoco 59 y 67 lo son. Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwänger, Vandiver y otros extienden la investigación a números más grandes. En 1915 Jensen demuestra que existen infinitos primos irregulares. La investigación se estanca por esta vía de la divisibilidad, a pesar de que se logran comprobaciones para n menor o igual a 4.000.000.
Andrew Wiles
En el año 1995 el matemático Andrew Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en Annals of mathematics, demostró el caso semiestable del Teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente una conjetura, que engarza las formas modulares y las curvas elípticas. De este trabajo, combinado con ideas de Frey y con el Teorema de Ribet, se desprende la demostración del Último Teorema de Fermat.[4] Aunque una versión anterior (no publicada) del trabajo de Wiles contenía un error, este pudo ser corregido en la versión publicada, que consta de dos artículos, el segundo en colaboración con el matemático Richard Taylor. En estos trabajos por primera vez se establecen resultados de modularidad a partir de modularidad residual, por lo cual los resultados del tipo de los probados por Wiles y Taylor son denominados "Teoremas de Levantamiento Modular". En la actualidad resultados de este tipo, mucho más generales y poderosos, han sido probados por varios matemáticos: además de generalizaciones probadas por Wiles en colaboración con C. Skinner y de Taylor en colaboración con M. Harris, los más generales en la actualidad se deben a Mark Kisin. En el trabajo de 1995 de Wiles se abrió una nueva vía, prácticamente una nueva área: la de la modularidad. Con estas técnicas, de las que este trabajo fue pionero, se han resuelto más recientemente otras importantes conjeturas, como la Conjetura de Serre y la de Sato-Tate. Curiosamente, la resolución de los primeros casos de la Conjetura de Serre (trabajos de Khare, Wintenberger y Dieulefait), como observara el propio Serre al formular la conjetura, permite una nueva demostración del Último Teorema de Fermat.[5]
Los trabajos de Wiles por lo tanto tienen una importancia que trasciende ampliamente su aplicación al Último Teorema de Fermat: se consideran centrales en la Geometría Aritmética moderna y se espera que sigan jugando un rol vital en la demostración de resultados de modularidad que se enmarcan en el Programa de Langlands.
Demonstración Elemental: Teorema Fermat-Wiles-Pereyra
En 2009 el matemático aplicado argentino (Matemática aplicada) Pablo Hernan Pereyra presento una demonstración elemental compacta y robusta en 7 ecuaciones, usando la matemática disponible en el tiempo de Fermat y al estilo de Diofanto, alterando el enunciado del teorema pero manteniendo su significado lógico, por este motivo es conocido como teorema Fermat-Wiles-Pereyra[6]. Este hecho abre una nueva perspectiva para creer que Fermat tenia su demonstración. En la demonstración del teorema Fermat-Wiles-Pereyra el hecho de que la curva da la ecuación no pasa por ningún punto con coordenadas racionales diferentes de cero cuando es rápidamente verificable resultando en una contradicción de factorización polinomial.
Véase también
Referencias
- ↑ Durán Guardeño, Antonio José (2000). «I. Matemáticas y matemáticos en el mundo griego». El legado de las matemáticas. De Euclides a Newton: los genios a través de sus libros. Sevilla. pp. 65-67. ISBN 9788492381821.
- ↑ "Fermat. El teorema de Fermat. El problema más difícil del mundo". ISBN 978-84-473-7632-2
- ↑ Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.
- ↑ Wiles, Andrew; Taylor, Richard (1995). «Modular elliptic curves and Fermat last theorem.». Annals of Mathematics 3 (141). p. 443-551.
- ↑ Nueva demostración del último teorema de Fermat, Revista Matematicalia [1]
- ↑ SPHAERA Sobre o ensino de Matemática e de Ciências,Capitulo Sobre o Teorema de Fermat-Wiles, ISBN 9788588355132, Editora Premier, 2009
Bibliografía
- El último teorema de Fermat. Simon Singh. ISBN 958-04-4865-5
- El enigma de Fermat. Simon Singh. ISBN 978-84-08-06572-2