Logicismo

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En filosofía de las matemáticas, el logicismo es la doctrina que sostiene que la matemática es en algún sentido importante reducible a la lógica,[1]​ o en otras palabras que las matemáticas son básicamente una extensión de la lógica. Los logicistas sostienen que las matemáticas se pueden conocer a priori, pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es solo parte de nuestro conocimiento de la lógica en general, y por lo tanto es analítico y no requiere ninguna facultad especial de intuición matemática. Desde este punto de vista, la lógica es el fundamento adecuado de las matemáticas y todas las afirmaciones matemáticas son verdades lógicas necesarias.

Rudolf Carnap (1931) presenta la tesis logicista en dos partes:[2]​

  1. Los conceptos matemáticos se pueden derivar de conceptos lógicos a través de definiciones explícitas
  2. Los teoremas de las matemáticas se pueden derivar de axiomas lógicos a través de deducciones puramente lógicas

Bertrand Russell y Alfred North Whitehead fueron partidarios de esta línea de pensamiento inaugurada por Gottlob Frege. El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofía analítica en el siglo XX, aunque a veces se alega que los teoremas de incompletitud de Gödel socavan el propósito del proyecto, si bien sería más apropiado decir que socavan más directamente el proyecto formalista.

Historia[editar]

Antecedentes[editar]

La doctrina logicista tuvo su primer antecedente en Gottfried Leibniz.[1]​ Sin embargo, el primer intento serio y detallado de reducir la matemática a la lógica tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Richard Dedekind, Georg Cantor y Giuseppe Peano articularon los principios básicos de la matemática, y Gottlob Frege desarrolló el primer sistema de lógica de predicados.[1]​

Frege[editar]

Gottlob Frege dedicó gran parte de su carrera al proyecto logicista. Sus dos obras principales al respecto se titularon Conceptografía (1879) y Los fundamentos de la aritmética (1884). En Los fundamentos de la aritmética, Frege construyó aritmética a partir de un sistema de lógica con un principio general de comprensión, al que llamó Ley básica V (para los conceptos F y G , la extensión de F es igual a la extensión de G si y solo si para todos los objetos a, Fa es igual a Ga), un principio que consideró aceptable como parte de la lógica.

Sin embargo, a principios del siglo XX, Bertrand Russell descubrió una inconsistencia grave en los principios de los que Frege había partido, hoy conocida como la paradoja de Russell. Esto desanimó a Frege, quien terminó abandonando el proyecto, pero fue continuado por Russell y Whitehead.[3]​

Principia Mathematica[editar]

Entre 1910 y 1913, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publicaron Principia Mathematica, un intento monumental de reparar los problemas en el sistema de Frege y completar el proyecto logicista.[4]​ Sin embargo, el sistema de Principia Mathematica tuvo sus propios problemas.[4]​ En particular, dos de sus axiomas fueron muy cuestionados: por un lado el axioma de infinitud, que afirma que existe un número infinito de objetos, fue criticado por parecer más una proposición empírica que una verdad lógica.[4]​ Por otro lado, el axioma de reducibilidad, que resuelve algunas dificultades técnicas del sistema, fue criticado por ser demasiado ad hoc como para estar filosóficamente justificado.[4]​

Neo-logicismo[editar]

Se llama neo-logicismo al intento de resucitar el proyecto logicista original, iniciado por Crispin Wright en un trabajo de 1983.[1]​ Wright observó que el proyecto original de Frege se puede dividir en dos partes.[1]​ En la primera, Frege parte de un principio llamado Ley básica V,[1]​ que dice:

Es decir: el conjunto de todos los A es idéntico al conjunto de todos los B si y sólo si todos los A son B, y todos los B son A. Partiendo de este principio, Frege derivó lo que hoy se conoce como el principio de Hume,[1]​ que dice:

El número de los A es el mismo que el de los B si y sólo si los A pueden ser puestos en correspondencia biunívoca con los B.

En la segunda parte, Frege procede a deducir los principios de la aritmética de Peano a partir del principio de Hume, sin hacer más uso de la ley básica V.[1]​ Wright sugiere que el principio de Hume, a diferencia de la ley básica V, es consistente, y que además se puede considerar como una ley lógica.[1]​ Si todo esto es cierto, entonces la aritmética de Peano sí puede ser reducida a la lógica.[1]​

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. ↑ a b c d e f g h i j Horsten, Leon. «Philosophy of Mathematics». En Edward N. Zalta, ed. Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Fall 2008 Edition). 
  2. ↑ Carnap, Rudolf (1931), "Die logizistische Grundlegung der Mathematik", Erkenntnis 2, 91-121. Republished, "The Logicist Foundations of Mathematics", E. Putnam and G.J. Massey (trans.), in Benacerraf and Putnam (1964). Reprinted, pp. 41–52 in Benacerraf and Putnam (1983).
  3. ↑ Quezada, Wilfredo Quezada (2004). «Ficcionalismo matemático y si-entoncismo russelliano ¿dos caras de la misma moneda?». Revista de Filosofía Vol. 29 Núm. 2 (University of Santiago, Chile). Consultado el 9 de julio de 2019. 
  4. ↑ a b c d Irvine, A. D. «Principia Mathematica». En Edward N. Zalta, ed. Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Fall 2006 Edition). 

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