Logicismo

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En la filosofía de la matemática, el logicismo es la doctrina que sostiene que la matemática es en algún sentido importante reducible a la lógica.[1]

A veces se alega que los teoremas de incompletitud de Gödel socavan el propósito del proyecto.

El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofía analítica en el siglo XX.

Antecedentes[editar]

La doctrina logicista tuvo su primer antecedente en Gottfried Leibniz.[1] Sin embargo, el primer intento serio y detallado de reducir la matemática a la lógica tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Richard Dedekind, Georg Cantor y Giuseppe Peano articularon los principios básicos de la matemática, y Gottlob Frege desarrolló el primer sistema de lógica de predicados.[1]

El programa de Frege[editar]

Gottlob Frege dedicó gran parte de su carrera al proyecto logicista. Sus dos obras principales al respecto se titularon Conceptografía (1879) y Los fundamentos de la aritmética (1884). Sin embargo, a principios del siglo XX, Bertrand Russell descubrió una inconsistencia grave en los principios de los que Frege había partido, hoy conocida como la paradoja de Russell. Esto desanimó a Frege, quien terminó abandonando el proyecto.

Principia Mathematica[editar]

Entre 1910 y 1913, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publicaron Principia Mathematica, un intento monumental de reparar los problemas en el sistema de Frege y completar el proyecto logicista.[2] Sin embargo, el sistema de Principia Mathematica tuvo sus propios problemas.[2] En particular, dos de sus axiomas fueron muy cuestionados: por un lado el axioma de infinitud, que afirma que existe un número infinito de objetos, fue criticado por parecer más una proposición empírica que una verdad lógica.[2] Por otro lado, el axioma de reducibilidad, que resuelve algunas dificultades técnicas del sistema, fue criticado por ser demasiado ad hoc como para estar filosóficamente justificado.[2]

Neo-logicismo[editar]

Se llama neo-logicismo al intento de resucitar el proyecto logicista original, iniciado por Crispin Wright en un trabajo de 1983.[1] Wright observó que el proyecto original de Frege puede dividirse en dos partes.[1] En la primera, Frege parte de un principio llamado ley básica V,[1] que dice:

\{ x : Ax \} = \{ x : Bx \} \leftrightarrow \forall x (Ax \leftrightarrow Bx)

Es decir: el conjunto de todos los A es idéntico al conjunto de todos los B si y sólo si todos los A son B, y todos los B son A. A partir de este principio, Frege derivó lo que hoy se conoce como el principio de Hume,[1] que dice:

El número de los A es el mismo que el de los B si y sólo si los A pueden ser puestos en correspondencia biunívoca con los B.

En la segunda parte, Frege procede a deducir los principios de la aritmética de Peano a partir del principio de Hume, sin hacer más uso de la ley básica V.[1] Wright sugiere que el principio de Hume, a diferencia de la ley básica V, es consistente, y que además puede ser considerado como una ley lógica.[1] Si todo esto es cierto, entonces la aritmética de Peano sí puede ser reducida a la lógica.[1]

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. a b c d e f g h i j Horsten, Leon, «Philosophy of Mathematics», en Edward N. Zalta (en inglés), Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2008 Edition), http://plato.stanford.edu/archives/fall2008/entries/philosophy-mathematics/ 
  2. a b c d Irvine, A. D., «Principia Mathematica», en Edward N. Zalta (en inglés), Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2006 Edition), http://plato.stanford.edu/archives/win2008/entries/principia-mathematica/ 

Enlaces externos[editar]