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El wronskiano y dependencia lineal (DAMA)

Si $W[x_{1},...,x_{n}]({\overline {t}})\neq 0$ para algún $({\overline {t}})\in [a,b]$, entonces las funciones $X_{1},...,X_{n}$ son linealmente independientes en $[a,b]$. Sin embargo, el hecho de que el Wronskiano se anule en un punto no garantiza en general que las funciones sean linealmente dependientes.

Contraejemplo

Las funciones $C^{1}([-1,1];\mathbb {R} )$ dadas por: $X_{1}(t)={\begin{pmatrix}t^{3}\\3t^{2}\end{pmatrix}},\quad \quad X_{2}(t)=\left\{{\begin{matrix}{\begin{pmatrix}-t^{3}\\-3t^{2}\end{pmatrix}},&t\in [-1,0],\\{\begin{pmatrix}t^{3}\\3t^{2}\end{pmatrix}},&t\in (0,1],\end{matrix}}\right.\quad$

son evidentemente linealmente independientes. Sin embargo, es inmediato comprobar que $W[X_{1},X_{2}](t)=0$ para todo $t\in [-1,1]$.

Este ejemplo muestra que el Wronskiano no es útil a la hora de determinar la independencia lineal de funciones arbitrarias. Sin embargo, veremos a continuación que sí es útil para determinar la independencia lineal de un sistema lineal homogéneo de orden 1 y dimensión $n$.

En lo que sigue, se considerarán sistemas de la forma $X'(t)=A(t)X(t)$, donde $A(t)$ es una matriz $n\times n$ y $t\in [a,b]$.

Teorema

Sean $X_{1},...,X_{n}$ soluciones del sistema lineal homogéneo en el intervalo $[a,b]$. Dichas soluciones son linealmente independientes en un punto $t_{0}\in [a,b]$ si y solo si lo son en todo el intervalo.

A continuación se muestran dos posibles demostraciones de este resultado: una en la que se utiliza el Teorema de Picard-Lindelöf y otra en la que aparece la Fórmula de Abel-Liouville.

Primera demostración

Sabemos que un conjunto de funciones $X_{1}(t),...,X_{n}(t)$ es linealmente independiente en $t_{0}\in [a,b]$ si la ecuación $\alpha _{1}X_{1}(t_{0})+...+\alpha _{n}X_{n}(t_{0})=0$ se verifica si y solo si $\alpha _{1}=\ ...\ =\alpha _{n}=0$. Definimos la función auxiliar $G(t)=\alpha _{1}X_{1}(t)+...+\alpha _{n}X_{n}(t)$. Como $X_{1},...,X_{n}$ son soluciones del sistema lineal homogéneo, cualquier combinación lineal de ellas es también solución. Por tanto $G(t)$ verifica la ecuación diferencial matricial: $G'=AG,\quad t\in [a,b],\quad G(t_{0})=0.$ Por el Teorema de Existencia y Unicidad, $G\equiv 0$ es la única solución. Por tanto, $\alpha _{1}X_{1}(t)+...+\alpha _{n}X_{n}(t)=0$ si y solo si $\alpha _{1}=\ ...\ =\alpha _{n}=0$. Con esto se concluye que $X_{1},...,X_{n}$ son linealmente independientes en todo $[a,b]$.

Segunda demostración

Para comprobar la independencia lineal de las soluciones se necesita que el determinante de la matriz cuyas columnas son los vectores $X_{1}(t),...,X_{n}(t)$ sea distinto $0$ para todo $t\in [a,b]$. Nótese que dicho determinante es exactamente el Wronskiano de las funciones $X_{1},...,X_{n}$ en $t$, denotado por $W[X_{1},...,X_{n}](t)$. Por la fórmula de Abel-Liouville, se tiene que $W[X_{1},...,X_{n}](t)=W[X_{1},...,X_{n}](t_{0})\exp \int _{t_{0}}^{t}tr(A(s))ds.$ Por hipótesis, como $X_{1},...,X_{n}$ son linealmente independientes en $t_{0}\in [a,b]$, su Wronskiano en dicho punto es distinto de $0$. Además, la función exponencial es siempre distinta de $0$, por tanto, $W[X_{1},...,X_{n}](t)\neq 0,$ para todo $t\in [a,b].$

Aplicación del teorema en algunos ejemplos

• Considérese las funciones $X_{1}(t)=t^{2},$$X_{2}(t)=t,$ y $X_{3}(t)=1,$ definidas para un número real t. Obténgase el wronskiano:

$W={\begin{vmatrix}t^{2}&t&1\\2t&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.$

Se ve que $W$ no es idénticamente $0$, así que estas funciones deben ser linealmente independientes.

• Sean $X_{1}(t)=2t^{2}+3$, $X_{2}(t)=t^{2}$, y $X_{3}(t)=1$ soluciones de un sistema lineal homogeneo. Estas funciones son claramente dependientes, ya que $2t^{2}+3=2(t^{2})+3(1)$. Así, el wronskiano debe ser cero, siguiendo un pequeño cálculo:

$W={\begin{vmatrix}2t^{2}+3&t^{2}&1\\4t&2t&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8t-8t=0.$

Como toda ecuación diferencial lineal de orden $n$ se puede escribir en forma de sistema de orden 1 y tamaño $n$, podemos emplear este teorema para determinar la dependencia lineal de un conjunto de soluciones de dicha ecuación. Por ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuación diferencial lineal de segundo orden son independientes, se puede usar el wronskiano.

Definición abstracta

Hay un sentido en el que el wronskiano de una ecuación diferencial lineal de orden n-ésimo es el producto exterior n-ésimo. Para implementar esa idea se debe trabajar con algunas formulaciones en las que las ecuaciones diferenciales son suficientemente parecidas a vectores en el espacio: por ejemplo en el lenguaje del fibrado vectorial llevando una conexión.

Comprobación: el wronskiano y dependencia lineal

El teorema es significativamente fácil de probar por medio de su segunda declaración mencionada anteriormente, siendo: Si las funciones son linealmente dependientes sobre el intervalo, entonces lo son también las columnas de la matriz wronskiana asociada (la diferenciación es una operación lineal); consecuentemente, el determinante wronskiano es cero en todos los puntos del intervalo.

Véase también

• Identidad de Abel
• Teorema de Picard-Lindelöf
• Liouville's formula (en inglés)

Referencias

1. Teschl, Gerald (2012). Ordinary differential equations and dynamical systems (en inglés). American Mathematical Society. 

Enlaces externos

• More on the Wronskian, Paul's Online Math Notes (Notas Matemáticas en Línea de Paul) (en inglés)
• Calcular un wronskiano con Sagemath

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