Usuario:MRS~eswiki/función recíproca

Versión personal - el artículo oficial de la enciclopedia se encuentra aquí

I Definición

Sea f una función real biyectiva, cuyo dominio (conjunto de definición) es I y cuyo codominio (conjunto imagen) es J = f(I). Por ser biyectiva, f admite una función recíproca, denotada f ^-1.

Definición: g es la función recíproca de f si para todo x en I e y en J, f(x) = y equivale a g(y) = x.

${\mbox{Formalmente }}:\qquad \qquad g=f^{-1}\Longleftrightarrow \left[\ \forall x\in I,\forall y\in J,\left(\ f(x)=y\Leftrightarrow x=g(y)\ \right)\ \right]$

Como consecuencia, g tiene como dominio J, y como codominio I : g(J) = I. Por simétría de la relación, resulta que si g es la recíproca de f entonces f es la recíproca de g.

En el ejemplo, I = [ -6; 2 ] y J = [ -6 ; 6 ].

esquema de la reciprocidad de dos funciones

II Propiedades analíticas

• Al componer f con g, se obtiene la función identidad: fog = id_J, y gof = id_I. Es otra definición posible de la función recíproca, y se suele representar por este esquema:
  

• f y g son simultaneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.

• Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).
  

• f y g son simultaneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g (que corresponden a eventuales tangentes verticales).

• Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así facilmente a partir de la de f (véan los ejemplos al final).

III Propiedades geométricas

• Las curvas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.

• Las tangentes en M y M' tienen pendientes (coeficientes directores) inversos. Es un efecto de la simétría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.
  
  

IV Ejemplos

Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada" x →x ². Más generalmente, la raíz de orden n es la recíproca de x→xⁿ.

También por construcción, la exponencial es la recíproca del logaritmo.

Por definición misma, arccos, arcsen y arctan son las recíprocas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que permite hallar sus derivadas:

Para f(x) = cos x = y, g(y) = f ^-1(y) = arccos y, y utilizando cos ² + sen ² = 1, se obtiene (donde sen x > 0):

$g'(x)={\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{-{\mbox{ sen }}x}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$

Para f(x) = tan x = y, g(y) = f ^-1(y) = arctan y, y utilizando tan' = 1 + tan², se obtiene:

$g'(x)={\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}x}}={\frac {1}{1+y^{2}}}$

Se generaliza el concepto de función recíproca a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones recíprocas.

Autor: M.Romero Schmidtke