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En un espacio vectorial como el plano euclidiano o el espacio tridimensional ambiente, se dice que una parte C es convexa si para cada par de puntos de él, el segmento que los reúne está totalmente incluido en C.
En otras palabras, en un conjunto convexo se puede ir de cualquier punto a cualquier otro en vía recta, sin salir del mismo.
Formalmente se escribe así:

$\forall (A,B)\in C^{2},[AB]\subset C$

Más en detalle:

$\forall (A,B)\in C^{2},\forall t\in [0;1],(1-t)\cdot A+t\cdot B\in C$

En el caso de un conjunto no convexo, se observa que cada segmento que muestra la no convexidad ([EF] en la figura) tiene forzosamente que atravesar por lo menos dos veces (en E´y F´en la figura) el borde dC del conjunto (el borde o la fontera de C lo constituyen los puntos del espacio en contacto a la vez con C y su complementario). Por tanto la convexidad depende esencialmente de la forma del borde del conjunto, y la definición equivale a:

$\forall (A,B)\in \partial C^{2},\forall t\in [0;1],(1-t)\cdot A+t\cdot B\in C$

Nótese que en esta fórmula, la suma de los coeficientes (1-t) y t es 1, por lo tanto el punto así definido no depende del origen del sistema de coordenadas.

En el caso de una frontera diferenciable (sin puntos angulosos) se pueden considerar sus tangentes, y resulta bastante intuitivo que los convexos se caracterizan por hallarse enteramento del mismo lado de cada tangente; es decir que las tangentes nunca atraviesan C (como en el punto A de la figura). Esta propiedad sigue cierta en presencia de puntos angulosos, como en el caso de los polígonos.
Se establece la equivalencia de estas dos caracterizaciones considerando que una tangente (en A por ejemplo) es la posición límite de las cuerdas [AA'] con A' acercándose indefinidamente de A, en el borde de C. El segmento [AA´] está en C mientras que el esto de la recta (AA') está fuera (por el absurdo: si se encuentra un punto B de C en la recta (AA´), fuera de [AA'], entonces el segmento [AB], exterior a C, contradice su convexidad).

envolturas convexas de sendos conjuntos

Se llama envoltura convexa de un conjunto dado C el menor (por la inclusión) conjunto convexo que contenga C. En la figura, la envoltura convexa de la forma azul oscuro es el dominio azul claro, y la envoltura de las cinco manchas verdes oscuro es el polígono verde claro cuyas vértices son justamente las cinco manchas, consideradas como puntos.
Se establece con facilidad que la envoltura convexa es el conjunto de todos los baricentros positivos (es decir con coeficientes todos positivos) de los puntos del conjunto inicial.
En la figura, C es un baricentro positivo de A y B porque está en el segmento [AB], y G es otro tanto de D,E y F, porque se encuentra en el triángulo DEF.

función convexa cualquiera

Se dice que una función real, definida sobre un intervalo es convexa si el dominio del plano situado por encima de su curva (en gris en la figura) lo es.
Sin sorpresa, las consideraciones anteriores se aplican: Sólo importa la frontera del dominio, es decir la curva de ecuación y = f(x). La convexidad se expresa así:

Para cualquier par (x, x') en el intervalo I, y cualquier t en [0;1] :
f(t·x+(1-t)·x') ≤ t·f(x) + (1-t)·f(x´).

Ejemplos: la hipérbola y = $1 \over x$ (con x > 0), las parábolas y = ax² + bx + c, con a ≤ 0 y x real variable, y la función exponencial y = e^x.

desigualdad de la convexidad

Si la función f es derivable entonces la convexidad equivale a la condición siguiente: $f'(x)\leq {\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}\leq f'(x')$ que significa que la pendiente de la cuerda entre dos puntos x y x' está contenida entre los valores extremos de la derivada. Esto equivale al que la derivada sea creciente, en todo el dominio de f '.
Si f es dos veces derivable, lo anterior significa que la derivada segunda es positiva: f"(x) ≥ 0.

Es fácil verificar que los tres ejemplos anteriores son convexos: $\left({\frac {1}{x}}\right)^{\prime \prime }={\frac {2}{x^{3}}}$ , positivo cuando x > 0; (ax² + bx + c)" = 2a > 0; y (e^x)" = e^x, siempre positivo.

Concavidad

Se utiliza un concepto opuesto a la convexidad: la concavidad. Se dice que una función f es cóncava cuando la función opuesta -f es convexa. También se puede definirlo diciendo que el dominio situado por debajo de la curva de f es convexo.
Logicamente, todas las propiedades se obtienen cambiando un signo ( ≤ por ≥, + por -) a las correspondientes propiedades de la convexidad: Por ejemplo, una función dos veces derivable es cóncava si y sólo si f"(x) ≤ 0.
Importantes funciones cóncavas son las parabolas orientadas hacia abajo: y = ax² + bx + c, con a ≤ 0; y sobre todo el logaritmo, cuya concavidad interviene en muchas demostraciones en el campo del análisis.

Autor: M.Romero Schmidtke