Usuario:MGGmath/Campo de Jacobi

En geometría riemanniana, un campo de Jacobi es un campo vectorial definido a lo largo de una geodésica en una variedad riemanniana. Describe la variación entre la geodésica y otras "infinitesimalmente cercanas". Es decir, los campos de Jacobi a lo largo de una geodésica constituyen el espacio tangente a la misma en el espacio de geodésicas. Reciben su nombre de Carl Jacobi.

Definiciones y propiedades

Un campo vectorial $J$ a lo largo de una geodésica $\gamma$ se denomina campo de Jacobi si satisface la ecuación de Jacobi,

${\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J(t)+R(J(t),{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0,$

donde $D$ denota la derivada covariante con respecto a la conexión de Levi-Civita, $R$ el tensor de curvatura de Riemann y ${\dot {\gamma }}(t)=d\gamma (t)/dt$ el campo vectorial tangente a la geodésica.

Una manera de obtener campos de Jacobi es la siguiente: sea $\gamma _{\tau }$ una familia uniparamétrica suave de geodésicas con $\gamma _{0}=\gamma$. Entonces, el campo

$J(t):=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}$

es de Jacobi y describe el comportamiento de las geodésicas en un entorno infinitesimal de $\gamma$. En una variedad riemanniana completa, todo campo de Jacobi proviene de esta construcción.

La ecuación de Jacobi es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden y, por tanto, los valores iniciales de $J$ y ${\frac {D}{dt}}J$ en un punto de la geodésica determinan el campo de Jacobi de manera única. Además, el conjunto de campos de Jacobi a lo largo de una geodésica dada forma un espacio vectorial real cuya dimensión es el doble de la dimensión de la variedad.

Los ejemplos más sencillos de campos de Jacobi son ${\dot {\gamma }}(t)$ y $t{\dot {\gamma }}(t)$, que corresponden a las familias $\gamma _{\tau }(t)=\gamma (\tau +t)$ y $\gamma _{\tau }(t)=\gamma ((1+\tau )t)$. Ambas familias están dadas por simples reparametrizaciones de la geodésica. Todo campo de Jacobi $J$ admite una descomposición $T+I$ de manera única, donde $T(t)=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)$ es una combinación lineal de los ejemplos anteriores y $I(t)$ es ortogonal a ${\dot {\gamma }}(t)$. Así, la parte dada por el campo $I$ corresponde a la misma variación infinitesimal en el espacio de geodésicas que $J$, modificando las parametrizaciones de las mismas.

Motivación

En la esfera unidad, las geodésicas a través del polo norte son los círculos máximos que pasan por dicho punto. Dadas dos geodésicas $\gamma _{0}$ y $\gamma _{\tau }$ de ese tipo, donde $\tau$ denota el ángulo de separación, y parametrizadas de manera natural por $t\in [0,\pi ]$, la distancia entre ambas es:

$d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\sin ^{-1}{\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\tan ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.$

Este valor se obtiene a partir de las ecuaciones explícitas de las geodésicas. Puede observarse que

$d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0\,$, para todo $\tau$.

Es decir, las geodésicas intersecan en el polo sur. Una motivación para introducir los campos de Jacobi es que es posible detectar tales intersecciones únicamente mediante la variación en las geodésicas. Efectivamente, si consideramos la derivada con respecto a $\tau$ en $\tau =0$:

${\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.$

sigue siendo posible detectar la intersección en $t=\pi$. El cálculo de esta variación no requiere de la fórmula explícita de la distancia, lo que facilita la obtención del punto de intersección. Los campos de Jacobi generalizan de manera natural este fenómeno a variedades riemannianas arbitrarias.

Resolución de la ecuación de Jacobi

Sea $e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|$ y ${\big \{}e_{i}(0){\big \}}$ una base ortonormal de $T_{\gamma (0)}M$ obtenida completando a partir de dicho vector. Esto da lugar a una base ortonormal $\{e_{i}(t)\}$ a lo largo de $\gamma$ mediante transporte paralelo, donde $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|$. Si escribimos el campo de Jacobi en esta base como $J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)$, se tiene

${\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),$

y, por tanto, la ecuación de Jacobi toma la forma siguiente:

${\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0.$

Es decir, se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias cuyos coeficientes son funciones suaves y, por tanto, existe una solución única fijados valores iniciales para $y^{k}(0)$ y ${y^{k}}'(0)$.

Ejemplos

Sea $\gamma (t)$ una geodésica y $e_{i}(t)$, $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|$ un sistema de referencia ortonormal a lo largo de la misma, obtenido como en la sección anterior. Entonces:

• Los campos vectoriales ${\dot {\gamma }}(t)$ y $t{\dot {\gamma }}(t)$ son campos de jacobi.
• En el espacio euclídeo (así como en espacios de curvatura seccional nula), los campos de Jacobi son aquellos lineales en $t$, es decir, de la forma $p+tv$, con $p,v\in \mathbb {R} ^{n}$.
• En variedades riemannianas de curvatura seccional negativa y constante, $-k^{2}$, los campos de Jacobi son combinaciones lineales de ${\dot {\gamma }}(t)$, $t{\dot {\gamma }}(t)$ y $\exp(\pm kt)e_{i}(t)$, con $i>1$ .
• En variedades riemannianas de curvatura seccional positiva y constante $k^{2}$, los campos de Jacobi son combinaciones lineales de ${\dot {\gamma }}(t)$, $t{\dot {\gamma }}(t)$, $\sin(kt)e_{i}(t)$ y $\cos(kt)e_{i}(t)$, con $i>1$ .
• La restricción de un campo de Killing a una geodésica siempre da lugar a un campo de Jacobi.

Referencias

• Manfredo Perdigão do Carmo. Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 pp. ISBN 0-8176-3490-8
• Jeff Cheeger and David G. Ebin. Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. x+168 pp. ISBN 978-0-8218-4417-5ISBN 978-0-8218-4417-5
• Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu. Foundations of differential geometry. Vol. II. Reprint of the 1969 original. Wiley Classics Library. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996. xvi+468 pp. ISBN 0-471-15732-5ISBN 0-471-15732-5
• Barrett O'Neill. Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York, 1983. xiii+468 pp. ISBN 0-12-526740-1ISBN 0-12-526740-1

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