Test de divergencia

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En matemáticas, el test de divergencia del término n-ésimo o test del término[1] es un test simple para evaluar la divergencia de una serie infinita:

  • Si \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, entonces \sum_{n=1}^\infty a_n diverge.

Este test por lo general no posee nombre específico que lo identifique.[2]

Uso[editar]

A diferencia de los criterios de convergencia más potentes, el test del término no puede demostrar por si solo que una serie converge. En particular, la inversa del test no es verdadera; todo lo que es posible afirmar es que:

  • Si \lim_{n \to \infty} a_n = 0, entonces \sum_{n=1}^\infty a_n puede ser o no convergente.

La serie armónica es un ejemplo clásico de una serie divergente cuyos términos tienden a cero.[3] La serie del tipo p,

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},

ejemplifica los posibles resultados del test:

  • Si p ≤ 0, entonces el test del término indica que la serie es divergente.
  • Si 0 < p ≤ 1, los resultados del test del término no son concluyentes, pero la serie es divergente por el test integral de convergencia.
  • Si 1 < p, los resultados del test del término no son concluyentes, pero la serie es convergente, por el test integral de convergencia.

Demostración[editar]

El test por lo general se demuestra en su forma contrapositiva:

  • Si \sum_{n=1}^\infty a_n converge, entonces \lim_{n \to \infty} a_n = 0.

Manipulación del límite[editar]

Si sn son las sumas parciales de la serie, entonces la suposición de que la serie converge implica que

\lim_{n\to\infty} s_n = s

para algún número s. Entonces[4]

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = s-s = 0.

Criterio de Cauchy[editar]

La suposición que la serie es convergente significa que satisface el test de convergencia de Cauchy: para cada \varepsilon>0 existe un número N tal que

|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}|<\varepsilon

es válido para todo n > N y p ≥ 1. Haciendo p = 1 se obtiene la definición inicial[5]

\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Alcance[editar]

La versión más simple del test del término es aplicable a las series infinitas de números reales. Las dos demostraciones indicadas previamente, al basarse en el criterio de Cauchy o la linealidad del límite, son por lo tanto válidas también en todo espacio vectorial normado.[6]

Notas[editar]

  1. Kaczor p.336
  2. Por ejemplo, Rudin (p.60) lo cita en su forma contrapositiva sin darle un nombre. Brabenec (p.156) solo lo denomina test del término n-ésimo. Stewart (p.709) lo denomina Test de la divergencia.
  3. Rudin p.60
  4. Brabenec p.156; Stewart p.709
  5. Rudin (pp.59-60) utiliza esta idea de demostración, comenzando con una expresión diferente del criterio de Cauchy.
  6. Hansen p.55; Șuhubi p.375

Referencias[editar]

  • Brabenec, Robert (2005). Resources for the study of real analysis. MAA. ISBN 0-88385-737-5. 
  • Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. ISBN 981-256-563-9. 
  • Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003). Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2050-8. 
  • Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (3e edición). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. 
  • Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2. 
  • Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Functional Analysis. Springer. ISBN 1-4020-1616-6.