Teorema de los residuos

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El Teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de Análisis Complejo.

Enunciado[editar]

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D, excepto en un número finito de puntos z_k que constituyen singularidades aisladas de la función. Sea C una curva simple, cerrada y regular a trozos orientada positivamente, contenida en D y que no pasa por ninguna de las singularidades. Entonces se tiene:

\oint_C f(z)dz=2\pi i\sum_k \operatorname{Res}(f, z_k)

donde \operatorname{Res}(f, z_k) es el Residuo de la función, en el punto singular zk.

Demostración[editar]

Sea f holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial  f(z)\,dz es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, sabemos que la integral  \int_C f(z)\, dz es igual a  \int_{C'} f(z)\, dz siempre que C' sea una curva homotópica con  C.

En específico, podemos considerar una curva tipo C' la cual tiene una rotación alrededor de los puntos  a_j sobre círculos pequeños, cuando unimos todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva  C' sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo necesitaremos sumar las integrales de  f alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea  z=a_j+\rho e^{i\theta} parametrización de la curva alrededor del punto a_j, entonces tendremos dz=\rho i e^{i\theta}\, d \theta, por lo tanto:



\int_C f(z)\, dz = \int_{C'} f(z)\, dz = \sum_j \eta(C,a_j)\int_{\partial B_\rho(a_j)} f(z)\, dz
 = \sum_j \eta(C,a_j) \int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta}) \rho i e^{i\theta}\, d\theta

donde  \rho>0 , escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas  B_\rho(a_j) están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio  U. Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda  j:

i\int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta = 2\pi i \mathrm{Res}(f,a_j).

Sea   j fija y apliquemos la serie de Laurent para  f en  a_j:

 f(z)= \sum_{k\in \mathbb Z} c_k (z-a_j)^k

de tal forma que \rm{Res}(f,a_j)=c_{-1}, donde c-1, es el coeficiente de {1 \over (z-a_j)} en la serie de laurent. Entonces tenemos:

 \int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta =
\sum_k \int_0^{2\pi} c_k (\rho e^{i\theta})^k \rho e^{i\theta}\, d\theta
=\rho^{k+1} \sum_k c_k \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta.

Observemos que si  k=-1 , tendremos


\rho^{k+1} c_k \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta = 
c_{-1}\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi c_{-1} = 2\pi \,\mathrm{Res}(f,a_j)

mientras que para  k\neq -1 tenemos que los términos de la suma se anulan, debido a que


\int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta = \left[\frac{e^{i(k+1)\theta}}{i(k+1)}\right]_0^{2\pi} = 0.

 \square

Véase también[editar]

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