Teorema de Radon–Nikodym

En matemáticas y particularmente en teoría de la medida, el teorema de Radon–Nikodym establece condiciones bajo las cuales se pueden generar medidas con signo absolutamente continuas respecto a una medida dada.

El teorema está asociado a los nombres de Johann Radon, que lo probó en 1913 para el caso particular en que el espacio subyacente es R'^N, y Otto M. Nikodym, que lo extendió al caso general en 1930.​

Formulación

Dado un espacio medible $(X,\Sigma )$, una medida $\sigma$-finita $\mu :\Sigma \to \mathbb {R}$ y una medida con signo $\sigma$-finita $\nu :\Sigma \to \mathbb {R}$ absolutamente continua con respecto a $\mu$, entonces existe una función medible $f$ sobre $(X,\Sigma )$ que satisface:

$\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu$, para todo $A\in \Sigma$.

Además, si $g$ es otra función medible en $(X,\Sigma )$ tal que

$\nu (A)=\int _{A}g\,d\mu$, para todo $A\in \Sigma$

entonces $f=g$ excepto, tal vez, en un conjunto de $\mu$-medida nula.

Derivada de Radon–Nikodym

Dadas las condiciones antes mencionadas, a la función $f$ que satisface

$\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu$

para todo $A\in \Sigma$ se la llama derivada de Radon-Nykodym de $\nu$ con respecto a $\mu$ y suele representarse mediante $\textstyle f={{d\nu } \over {d\mu }}$. Dicha notación refleja el hecho de que esta función desempeña un papel análogo al de la derivada en el cálculo.

Referencias

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.