Teorema de Radon–Nikodym

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En matemáticas y particularmente en teoría de la medida, el teorema de Radon–Nikodym establece condiciones bajo las cuales se pueden generar medidas con signo absolutamente continuas respecto a una medida dada.

El teorema está asociado a los nombres de Johann Radon, que lo probó en 1913 para el caso particular en que el espacio subyacente es R'N, y Otto M. Nikodym, que lo extendió al caso general en 1930.[1]

Formulación[editar]

Dado un espacio medible (X,\Sigma), una medida \sigma-finita \mu:\Sigma\to\R y una medida con signo \sigma-finita \nu:\Sigma\to\R absolutamente continua con respecto a \mu, entonces existe una función medible f sobre (X,\Sigma) que satisface:

\nu(A) = \int_A f \, d\mu, para todo A \in \Sigma.

Además, si g es otra función medible en (X,\Sigma) tal que

\nu(A) = \int_A g \, d\mu, para todo A \in \Sigma

entonces f=g excepto, tal vez, en un conjunto de \mu-medida nula.

Derivada de Radon–Nikodym[editar]

Dadas las condiciones antes mencionadas, a la función f que satisface

\nu(A) = \int_A f \, d\mu

para todo A \in \Sigma se la llama derivada de Radon-Nykodym de \nu con respecto a \mu y suele representarse mediante \textstyle f={{d\nu}\over {d\mu}}. Dicha notación refleja el hecho de que esta función desempeña un papel análogo al de la derivada en el cálculo.

Notas[editar]

Referencias[editar]

  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.