Serie de Bertrand

Sean α y β dos números reales. Llamamos serie de Bertrand (en honor al matemático Joseph Bertrand) a la serie de términos reales positivos siguiente :

$\sum _{n\geq 2}{1 \over n^{\alpha }\,(\ln n)^{\beta }}.$

Condicion de convergencia

Enunciado

Teorema de Bertrand

Esta condicion necesaria y suficiente se resume en la expresión: (α, β) > (1, 1), donde el orden del par ordenado de reales es el orden alfabético (tomando primero α y, si α = 1, miramos β).

Demostración por el criterio de comparación

La serie de Bertrand se comporta igual que la integral en +∞ de la función

$f:x\mapsto {\frac {1}{x^{\alpha }(\ln x)^{\beta }}}$

(positiva en (1,+∞)),siempre y cuando $f$ sea decreciente a partir de un cierto valor de $x$.

Cuando esta hipótesis (monotonía decreciente) no se cumple, es decir cuando α < 0 o (α = 0 y β < 0), tenemos una serie creciente a partir de un $x$ y, por no cumplir la condición necesaria de convergencia es divergente.

Cuando se cumple, es decir cuando (α = 0 y β ≥ 0) o α > 0, la convergencia de la serie equivale a la integrabilidad en +∞ de la función anterior o, por cambio de variable $y=ln(x)$, de la función

$y\mapsto {\rm {e}}^{(1-\alpha )y}y^{-\beta }.$

• Si 1 – α < 0, esta función de $y$ es integrable en +∞ ya que es está acotada por otra exponencial: $f\in O({\rm {e}}^{-\gamma y})$ para todo γ ∈ ]0, α – 1[.

• Si α = 1, es integrable en +∞ si y sólo si β > 1.
• Si 1 – α > 0, no es integrable en +∞ pues tiende hacia +∞.