Seno del topólogo

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El seno del topólogo, en topología, es una curva contenida en \mathbb{R}^2 utilizada frecuentemente para ilustrar determinadas propiedades de los espacios topológicos.[1] Se utiliza especialmente a modo de ejemplo de espacio topológico que es conexo pero no conexo por caminos.

Definición[editar]

Una definición usual del seno del topólogo es la adherencia de la curva

A=\{(x, \mbox{sen}(\tfrac{1}{x})), \ x \in (0,1]\},

denotada \bar{A}, y que se define a su vez como la unión de A con su frontera, el segmento

\partial A=\{(0,y), \ y \in [-1,1]\}

A medida que x se acerca a cero, 1/x crece cada vez más rápido (de hecho, tiende a infinito), por lo que la frecuencia de la curva sinusoidal también es cada vez mayor. En el límite, la frecuencia es infinita.

Variantes[editar]

En ocasiones, se considera solamente A, o la unión de A con el punto (0,0). También se puede considerar la función f(x)= \mbox{sen}(\tfrac{1}{x}) definida en un intervalo distinto de (0,1],[2] aunque siempre en un intervalo abierto en 0. Incluso se puede hacer distinción entre la «curva cerrada» (\bar{A}) y la «curva abierta» (A) del seno del topólogo.[1]

Propiedades[editar]

La función f(x)=\mbox{sen(1/x)}, f(0)=0 no es de variación acotada.

Como adherencia de una función continua, \bar{A} es un espacio conexo. Sin embargo, no es conexo por caminos, pues no existe un camino f:[0,1] \rightarrow \bar{A} que una los puntos (1,\mbox{sen}(1)) y (0,0). Para ver que es así, considérese la sucesión formada por los puntos, tomados de derecha a izquierda en la gráfica, cuya segunda componente es alternativamente +1 ó -1. Esta sucesión no converge.

Temas relacionados[editar]

Referencias[editar]

  1. a b Marcelo Salgado. «Relatividad» pág. 29.
  2. Gustavo Nevardo Rubiano Ortegón. Fundamentos de topología algebraica. p. 74.