Representación adjunta

En matemáticas, la representación adjunta (o acción adjunta) de un grupo de Lie $G$ es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo, considerado como un espacio vectorial. Por ejemplo, si $G$ es $GL(n,\mathbb {R} )$ el grupo de Lie de matrices invertibles reales n por n, entonces la representación adjunta es $e$ el homomorfismo de grupo que envía una matriz invertible n por n, siendo $g$ un endomorfismo del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de $\mathbb {R} ^{n}$ definido por $x\mapsto gxg^{-1}$ .

Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando el diferencial de) la acción de $G$ sobre sí mismo mediante conjugación. La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre campos arbitrarios.

Definición[editar]

Sea G un grupo de Lie y sea

${\displaystyle \Psi :G\rightarrow Aut(G)}$

ser el mapeo ${\displaystyle {\displaystyle g\rightarrow \Psi _{g}}}$ con Aut(G) el grupo de automorfismo de $G$ y $\Psi _{g}:G\rightarrow G$ dado por el automorfismo interno (conjugación)

$\Psi _{g}(h)=ghg^{-1}$

Este $\Psi$ es un homomorfismo de grupo de Lie.

Para cada $g$ en $G$ , definido $Ad_{g}$ siendo la derivada de $\Psi _{g}$ en el origen:

$Ad_{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G$

donde $d$ es el diferencial de ${\displaystyle {\displaystyle g=T_{e}G}}$ es el espacio tangente al origen $e$ ( $e$ siendo la identidad del elemento del grupo $G$ ). Desde $\Psi _{g}$ es un automorfismo del grupo Lie, $Ad_{g}$ es un Automorfismo álgebra de Lie; una invertible aplicación lineal de $g$ el mismo conserva el Álgebra de Lie. Además, desde que $g\rightarrow \Psi _{g}$ es un grupo homomorfismo, $g\rightarrow Ad_{g}$ también es un homomorfismo de grupo. Por lo tanto, el mapa

${\displaystyle Ad:G\rightarrow Aut(\mathbf {g} ),g\rightarrow Ad_{g}}$

es un representación de grupo llamado el representación adjunta de $G$ .

Si $G$ es una Correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie del grupo general $GL_{n}(\mathbb {C} )$ (llamado grupo de Lie lineal inmenso), entonces la álgebra de Lie ${\textbf {g}}$ consiste en matrices y de Aplicación exponencial (teoría de Lie) es la matrix exponencial $\exp(X)=e^{x}$ para matrices $X$ con peqeñas normas operativas. Nosotroa calcularemos la derivada de $\Psi _{g}$ de $e$ . Para $g$ en $G$ y pequeña $X$ en $\mathbf {g}$ , la curba $t\rightarrow \exp(tX)$ a derivado $X$ a $t=0$ , uno entonces obtiene: