Relación de dependencia

En matemáticas, dado un conjunto no vacío A, y una relación binaria entre sus elementos, se dice que esta relación binaria es una relación de dependencia, si es reflexiva y simétrica:

Propiedad reflexiva:

$\forall a\in A:\;(a,a)\in R$

Propiedad simétrica:

$\forall a,b\in A:\;(a,b)\in R\longrightarrow \quad (b,a)\in R$

Ejemplo 1

Dado el conjunto finito A, formado por los elementos:

$A=\{a,b,c\}\,$

y definida la relación binaria R como:

$R=\{a,b\}\times \{a,b\}\quad \cup \quad \{a,c\}\times \{a,c\}$

Que extensivamente resulta:

$R=\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(a,c),(c,a),(c,c)\}\,$

Podemos ver que la relación es reflexiva y simétrica, por lo tanto es una Relación de dependencia y que no es transitiva, por lo que no es una relación de equivalencia.

Ejemplo 2

Tomando el conjunto de los números reales, y la definición de distancia entre dos números x é y como el valor absoluto de su diferencia:

$\forall x,y\in \mathbb {R} :\;D=|x-y|$

Decimos que dos números reales x é y cumplen la relación de proximidad cuando su distancia es menor que un valor D dado mayor que cero.

$(x,y)\in R:\;(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\quad \land \quad |x-y|<D$

El par ordenado (x, y) cumple la relación de proximidad si x, y son números reales y la distancia entre x é y es menor que D.

Esta relación es reflexiva:

$\forall x\in \mathbb {R} :\;|x-x|<D$

Para todo x número real, la distancia con si mismo es menor que D.

y es simétrica:

$\forall x,y\in \mathbb {R} :\;|x-y|<D\quad \longrightarrow \quad |y-x|<D$

Para todo x, y números reales, si la distancia entre x é y es menor que D, entonces la distancia entre y y x también es menor que D.

Por lo que la relación de proximidad entre los números reales es una relación de dependencia.

Puede verse igualmente que la relación de proximidad, entre los números reales, no es transitiva:

$\forall x,y,z\in \mathbb {R} :\;{\Big (}|x-y|<D\quad \land \quad |y-z|<D{\Big )}\quad \nrightarrow \quad |x-z|<D$

Para todo x, y, z números reales, si se cumple que la distancia entre x é y es menor que D, y la distancia entre y y z es menor que D, no implica necesariamente que la distancia entre x y z sea menor que D.

por lo que no es una relación de equivalencia.

Véase también

Relación matemática

Relación binaria

Relación de equivalencia

Conjunto preordenado

Conjunto parcialmente ordenado