Radio espectral

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En matemáticas, el radio espectral de una matriz o de un operador lineal acotado es el supremo de entre los valores absolutos de los elementos de su espectro, indicándose en ocasiones con ρ(·).

Matrices[editar]

Si λ1, ..., λs son los valores propios (reales o complejos) de una matriz ACn × n, entonces su radio espectral ρ(A) de define como:

\rho(A) := \max_i(|\lambda_i|)

El siguiente lema muestra una mayorante sencilla hasta ahora útil para el radio espectral de una matriz:

Lema: Si ACn × n es una matriz de valores complejos, ρ(A) su radio espectral y ||·|| una norma matricial consistente; entonces, para cada kN:

\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k},\ \forall k \in \mathbb{N}.

Demostración: Si (v, λ) es un par compuesto de un vector propio y un valor propio para una matriz A, por la propiedad sub-multiplicativa de la norma matricial, se obtiene:

|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|
y como v ≠ 0 por cada λ se tiene:
|\lambda|^k\leq \|A^k\|
por lo que:
\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k}\,\,\square

El radio espectral está estrechamente relacionado con el comportamiento de la convergencia de la secuencia potencial de una matriz, como muestra el siguiente teorema:

Teorema: Si ACn × n es una matriz de valores complejos y ρ(A) su radio espectral, entonces:

\lim_{k \to \infty}A^k=0 si y sólo si \rho(A)<1.

Además, si ρ(A)>1, \|A^k\| no está sometido a valores k en aumento.

Demostración:

(\lim_{k \to \infty}A^k = 0 \Rightarrow \rho(A) < 1)

Si (v, λ) es un par compuesto de un vector propio y un valor propio para una matriz A, puesto que:
A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v},
se tiene:
0\, = (\lim_{k \to \infty}A^k)\mathbf{v}
= \lim_{k \to \infty}A^k\mathbf{v}
= \lim_{k \to \infty}\lambda^k\mathbf{v}
= \mathbf{v}\lim_{k \to \infty}\lambda^k
Y, ya que a través de una hipótesis v ≠ 0, se debe tener:
\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0
lo que implica que |λ| < 1. Puesto que esto debe valer para cualquier autovalor λ, se puede concluir que ρ(A) < 1.

(\rho(A)<1 \Rightarrow \lim_{k \to \infty}A^k = 0)

Gracias al Teorema de la forma canónica de Jordan, se sabe que para cualquier matriz de valores complejos ACn × n, cualquier matriz no singular VCn × n y cualquier matriz diagonal a bloques JCn × n existen así:
A = VJV^{-1}
con:
J=\begin{bmatrix}
J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s)
\end{bmatrix}
donde:
J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i
\end{bmatrix}\in \mathbb{C}^{m_i,m_i}, 1\leq i\leq s.
Se ve fácilmente que:
A^k=VJ^kV^{-1}
y, puesto que J es la diagonal a bloques:
J^k=\begin{bmatrix}
J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s)
\end{bmatrix}
Ahora, un resultado normal en la potencia k de un bloque Jordan mi × mi, para kmi − 1, establece lo siguiente:
J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\
0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k
\end{bmatrix}
Por tanto, si ρ(A) < 1, entonces |λi| < 1 ∀ i, por lo que:
\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0\ \forall i
lo que implica que:
\lim_{k \to \infty}J^k = 0.
En consecuencia:
\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V(\lim_{k \to \infty}J^k)V^{-1}=0

Por otro lado, si ρ(A)>1, hay al menos un elemento en J que no permance inalterable al aumentar k, demostrando así la segunda parte de la teoría.

\square

TEOREMA (La fórmula de Gelfand, 1941)[editar]

Para toda norma matricial ||·||, se tiene:

\rho(A)=\lim_{k \to \infty}||A^k||^{1/k}.

Es decir, la fórmula de Gelfand muestra cómo el radio espectral de A es la causa del ritmo de crecimiento asintótico de la norma de Ak:

\|A^k\|\sim\rho(A)^k para k\rightarrow \infty.\,

Demostración: Si todo ε > 0, al considerar la matriz:

\tilde{A}=(\rho(A)+\epsilon)^{-1}A.
Entonces, lógicamente:
\rho(\tilde{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)+\epsilon} < 1
y, de acuerdo con el teorema anterior:
\lim_{k \to \infty}\tilde{A}^k=0.
Lo que revela, a través de la definición del límite de secuencia, que un número natural N1N existe así:
\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|\tilde{A}^k\| < 1
lo que en cada caso significa que:
\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\| < (\rho(A)+\epsilon)^k
o que:
\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} < (\rho(A)+\epsilon).
Al considerar ahora la matriz:
\check{A}=(\rho(A)-\epsilon)^{-1}A.
entonces, lógicamente:
\rho(\check{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)-\epsilon} > 1
así, de acuerdo con el teorema anterior, \|\check{A}^k\| permanece inalterable.
Esto resuelve que un número natural N2N existe así:
\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|\check{A}^k\| > 1
lo que en cada caso significa que:
\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|A^k\| > (\rho(A)-\epsilon)^k
o que:
\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} > (\rho(A)-\epsilon).
Tomando:
N:=max(N_1,N_2)
e insertándolo en lo anterior, se consigue:
\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A)-\epsilon < \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon
lo que por definición es:
\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A).\,\,\square

La fórmula de Gelfand conduce directamente a un límite del radio espectral de un producto de muchas matrices finitas; suponiendo que todas ellas se conmutaran, se obtendría: 
\rho(A_1 A_2 \ldots A_n) \leq \rho(A_1) \rho(A_2)\ldots \rho(A_n).

En realidad, en el caso en que la norma fuera constante, la demostración serviría más que la tesis; de hecho, al emplear el lema anterior, se puede remplazar la minorante en la definición de límite por el radio espectral mismo, quedando de forma:

\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A) \leq \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon
lo que por definición es:
\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)^+.

Ejemplo: Al considerar la matriz:

A=\begin{bmatrix}
9 & -1 & 2\\
-2 & 8 & 4\\
1 & 1 & 8
\end{bmatrix}

cuyos valores propios son 5, 10, 10; de acuerdo con la definición, su radio espectral es ρ(A)=10. En la siguiente tabla aparecen los valores de \|A^k\|^{1/k} en las cuatro normas más empleadas para algunos valores en aumento de k (tenerlo en cuenta, debido a la forma particular de esta matriz, \|.\|_1=\|.\|_\infty):

k \|.\|_1=\|.\|_\infty \|.\|_F \|.\|_2
1 14 15.362291496 10.681145748
2 12.649110641 12.328294348 10.595665162
3 11.934831919 11.532450664 10.500980846
4 11.501633169 11.151002986 10.418165779
5 11.216043151 10.921242235 10.351918183
\vdots \vdots \vdots \vdots
10 10.604944422 10.455910430 10.183690042
11 10.548677680 10.413702213 10.166990229
12 10.501921835 10.378620930 10.153031596
\vdots \vdots \vdots \vdots
20 10.298254399 10.225504447 10.091577411
30 10.197860892 10.149776921 10.060958900
40 10.148031640 10.112123681 10.045684426
50 10.118251035 10.089598820 10.036530875
\vdots \vdots \vdots \vdots
100 10.058951752 10.044699508 10.018248786
200 10.029432562 10.022324834 10.009120234
300 10.019612095 10.014877690 10.006079232
400 10.014705469 10.011156194 10.004559078
\vdots \vdots \vdots \vdots
1000 10.005879594 10.004460985 10.001823382
2000 10.002939365 10.002230244 10.000911649
3000 10.001959481 10.001486774 10.000607757
\vdots \vdots \vdots \vdots
10000 10.000587804 10.000446009 10.000182323
20000 10.000293898 10.000223002 10.000091161
30000 10.000195931 10.000148667 10.000060774
\vdots \vdots \vdots \vdots
100000 10.000058779 10.000044600 10.000018232

Operadores lineales acotados[editar]

Para un operador lineal acotado A y la norma operacional ||·||, se tiene de nuevo:

\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}.

A un operador acotado (en un espacio de Hilbert complejo) se le denomina operador espectraloide si su radio espectral coincide con su radio numérico. Un ejemplo de este tipo de operador es un operador normal.

Grafos[editar]

El radio espectral de un grafo finito se define como el radio espectral de su matriz de adyacencia.

Esta definición es válida para los casos de grafos infinitos con grados limitados de vértices (por ej. existe algún número real C, como el grado de cada vértice del grafo, que es menor que C).

En este caso, para el grafo G si  l^2(G) indica el espacio de funciones:
 f \colon V(G) \to {\mathbb R}
con:
 \sum_{v \in V(G)} \|f(v)^2\| < \infty
Si  \gamma \colon l^2(G) \to l^2(G) es el operador de adyacencia de  G , por ej.:
 (\gamma f)(v) = \sum_{(u,v) \in E(G)} f(u) .
el radio espectral de G se define como el radio espectral del operador lineal acotado \gamma.