Principio de Fermat

De los tres rayos luminosos que salen del punto morado sólo los que hagan el camino óptico un extremal (máximo o mínimo) serán trayectorias reales de la luz.

El principio de Fermat, en óptica es un principio de tipo extremal y que establece:

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo.

Este enunciado no es completo y no cubre todos los casos, por lo que existe una forma moderna del principio de Fermat. Esta dice que:

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria.

Esto quiere decir que, si se expresa el trayecto recorrido por la luz entre dos puntos $O_1$ y $O_2$ por medio de una funcional llamada camino óptico definida como $\mathcal{L}_{O_1 O_2}[n(\vec{r})]$ la trayectoria real de la luz seguirá un camino extremal respecto de esta funcional:

$\delta\mathcal{L}_{O_1 O_2}[n(\vec{r})]=\delta\int_{O_1}^{O_2}{n(\vec{r})ds}= 0.$

La característica importante, como dice el enunciado, es que los trayectos próximos al verdadero requieren tiempos aproximadamente iguales. En esta forma, el principio de Fermat recuerda al principio de Hamilton o a las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Veamos ahora algunos ejemplos de la aplicación del principio para deducir las leyes de la óptica geométrica.

Ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso

La ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso real en un sistema óptico es:

$\vec\nabla n(\vec{r})-\frac{d}{ds}\left [ n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\right ] =0$

y se deduce a partir del principio de Fermat.

Deducción de la ecuación

Aplicando el principio de Fermat, toda variación sobre una trayectoria de un rayo luminosos real debe ser nula. Por tanto; $\delta\mathcal{L}_{O_1 O_2}[n(\vec{r})]=\delta\int_{O_1}^{O_2}{n(\vec{r})ds}=\int_{O_1}^{O_2}{\delta (n(\vec{r}))ds}+\int_{O_1}^{O_2}{n(\vec{r})\delta (ds)}=$ =$\int_{O_1}^{O_2}{\vec\nabla n(\vec{r})\cdot\delta\vec r ds}+\int_{O_1}^{O_2}{n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\cdot\frac{d(\delta\vec r)}{ds}ds}=\int_{O_1}^{O_2}{\vec\nabla n(\vec{r})\cdot\delta\vec r ds}+\left [n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\cdot\delta\vec r\right ]_{O_1}^{O_2}-\int_{O_1}^{O_2}{\frac{d}{ds}\left [n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\right ]\cdot\delta\vec r ds}=0.$ Cuando la variación sobre los extremos no existe queda que: $\int_{O_1}^{O_2}{\left [ \vec\nabla n(\vec{r}) -\frac{d}{ds}\left (n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\right )\right ]\cdot\delta\vec r ds}=0 \qquad \forall \delta\vec r$ por tanto el integrando debe anularse y queda la ecuación de la trayectoria.

La interpretación de la ecuación es importante. La trayectoria permanece en el plano en el que varía el índice de refracción $n(\vec r)$. Eso puede observarse escribiendo la ecuación en términos de los vectores unitarios $\hat u_t$ y $\hat u_n$:

$\vec\nabla n(\vec{r})=\frac{d}{ds}\left [ n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\right ] =\frac{dn(\vec{r})}{ds}\frac{d\vec r}{ds}+n(\vec{r})\frac{d^2\vec r}{ds^2}=\frac{dn(\vec{r})}{ds}\hat u_t+\frac{n (\vec r)}{\rho (\vec r)}\hat u_n$

siendo $\rho$ el radio de la circunferencia osculatriz en el punto $\vec r$ a la trayectoria.

Ley de la Reflexión

Si suponemos que un rayo de luz sale del punto A en dirección a la superficie plana, que suponemos reflectora, y viaja hasta el punto B ¿Cuál será la trayectoria seguida por la luz? En este caso la luz viaja durante todo el camino por el mismo medio, con el mismo índice de refracción y, por tanto, a la misma velocidad. Así, el tiempo necesario para recorrer el camino entre A y B (pasando por la superficie P) será la distancia APB dividida por la velocidad de la luz en el medio. Como la velocidad es una constante, la trayectoria real, según el principio de Fermat, será la más corta.

Es fácil ver que la distancia APB es la misma que la distancia A'PB, donde A' es la imagen de A. A' está sobre la recta perpendicular al espejo que pasa por A, a la misma distancia del espejo que A y al otro lado del mismo. La distancia mínima A'PB es, obviamente, la línea recta A'P2B, con lo que la trayectoria real es AP2B. El análisis completo de la situación muestra que P2 es tal que los ángulos de incidencia y de reflexión en el punto son iguales, de lo que se deduce la fórmula de la ley de la reflexión: $\theta_{i} = \theta_{t}$

Ley de la Refracción

El rayo de luz se propaga de A a B pasando por P, que es un punto móvil sobre el eje de las abcisas.

Con el principio de Fermat se puede deducir la ley de Snell, que afirma que el producto del índice de refracción del primer medio de propagación con el seno del ángulo de incidencia es equivalente al producto del índice de propagación del segundo medio con el seno del ángulo refractado.

$n_1\ \sin{\alpha_1} = n_2\ \sin{\alpha_2}$

Planteemos el fenomeno analíticamente, sobre un plano cartesiano.

Sea un medio de propagación con índice de refracción $n_1\$ y un segundo medio de propagación con índice de refracción $n_2\$ tales que situamos la superfície que separa los dos medios de modo que coincida con el eje de las abcisas.

Sean $A = (x_A ,\; y_A )$ y $B = (x_B ,\; y_B )$ dos puntos fijos situados del plano, de modo que A está situado en el primer medio, y B en el segundo medio.

Sea un rayo de luz que se propaga de A a B atravesando la superficie que separa los dos medios en el punto $P = (x,\; 0 )$.

El siguiente paso es deducir el tiempo que tarda el rayo en recorrer $\overline{AP}$ y $\overline{PB}$.

Sean $v_1$ y $v_2$ la velocidad de propagación de la luz en el primer y segundo medio respectivamente.

$t_1 = \frac{\overline{AP}}{v_1} = \frac{\sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}}{v_1}$; $t_2 = \frac{\overline{PB}}{v_2} = \frac{\sqrt{(x - x_B)^2\ + {y_B}^2}}{v_2}$

$t = \frac{\sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(x - x_B)^2\ + {y_B}^2}}{v_2}$

Si buscamos el valor de $x\$ cuando $t\$ es mínimo, es equivalente si encontramos el valor de $x\$ para el cual la función derivada de $t\$ toma el valor 0.

$\frac{dt}{dx} = - \frac{x_A\ - x}{v_1\ \sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}} + \frac{x - x_B\ }{v_2\ \sqrt{(x - x_B\ )^2\ + {y_B}^2}} = 0$

$\frac{x_A\ - x}{v_1\ \sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}} = \frac{x_B - x\ }{v_2\ \sqrt{(x - x_B\ )^2\ + {y_B}^2}}$

$\frac{x_A\ - x}{v_1\ \overline{AP}} = \frac{x_B - x\ }{v_2\ \overline{PB}}$

$\frac{1}{v_1\ } \sin{\alpha_1} = \frac{1}{v_2\ } \sin{\alpha_2}$

$\frac{c}{v_1\ } \sin{\alpha_1} = \frac{c}{v_2\ } \sin{\alpha_2}$

$n_1\ \sin{\alpha_1} = n_2\ \sin{\alpha_2}$