Polinomio recíproco

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En matemáticas, para un polinomio p con coeficientes complejos,

p(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \ldots + a_nz^n \,\!

se define el polinomio recíproco, p*

p^*(z) = \overline{a}_n + \overline{a}_{n-1}z + \ldots + \overline{a}_0z^n = z^n\overline{p(\bar{z}^{-1})}

donde \overline{a}_i denota el conjugado complejo de a_i \,\!.

Un polinomio se dice que es autorrecíproco si p(z) \equiv p^{*}(z).

Si los coeficientes ai son reales, entonces esto se reduce a ai = ani. En este caso, se dice que p es un polinomio palindrómico.

Si p(z) es el polinomio mínimo de z0 con |z0| = 1, y p(z) tiene coeficientes reales, entonces p(z) es autorrecíproco. Esto es así porque

z_0^n\overline{p(1/\bar{z_0})} = z_0^n\overline{p(z_0)} = z_0^n\bar{0} = 0.

Por tanto, z0 es una raíz del polinomio z^n\overline{p(\bar{z}^{-1})}, que tiene grado n. Sin embargo, el polinomio mínimo es único, por tanto

p(z) = z^n\overline{p(\bar{z}^{-1})}.

Una consecuencia de esto es que los polinomios ciclotómicos \Phi_n son autorrecíprocos para n > 1. Este resultado se utiliza en la criba especial del cuerpo de números para permitir que números de la forma x^{11} \pm 1, x^{13} \pm 1, x^{15} \pm 1 y x^{21} \pm 1 puedan ser factorizados tomando partido de los factores algebraicos mediante el uso de polinomios de grado 5, 6, 4 y 6 respectivamente. Nótese que el \phi de los exponentes es 10, 12, 8 and 12.

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