Plano de Minkowski

En matemáticas, un plano de Minkowski (llamado así por el matemático alemán Hermann Minkowski (1864-1909)) es uno de los planos de Benz (los otros dos son el plano de Möbius y el plano de Laguerre).^[1]

Plano de Minkowski real clásico[editar]

Plano de Minkowski clásico: modelo 2d/3d

Aplicando la distancia pseudoeuclídea $d(P_{1},P_{2})=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2})^{2}$ a dos puntos $P_{i}=(x'_{i},y'_{i})$ (en lugar de la distancia euclídea), se obtiene la geometría de las hipérbolas, porque una circunferencia pseudoeuclídea $\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}$ es una hipérbola con punto medio $M$ .

Mediante una transformación de coordenadas $x_{i}=x'_{i}+y'_{i}$ , $y_{i}=x'_{i}-y'_{i}$ , la distancia pseudoeuclídea se puede reescribir como $d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})$ . Las hipérbolas tienen entonces asíntotas paralelas a los ejes de coordenadas denotados sin comilla (es decir, a x e y; y no a x' e y' ).

La siguiente completación (véase plano de Möbius y plano de Laguerre) homogeneiza la geometría de las hipérbolas:

El conjunto de puntos:

{\mathcal {P}}:=\left(\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}\right)^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \left(\left\{\infty \right\}\times \mathbb {R} \right)\cup \left(\mathbb {R} \times \left\{\infty \right\}\right)\ \cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\ ,\ \infty \notin \mathbb {R} ,

El conjunto de ciclos:

{\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:={}&\left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax+b\right\}\cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\mid a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}\\&\quad \cup \left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\frac {a}{x-b}}+c,x\neq b\right\}\cup \left\{\left(b,\infty \right),\left(\infty ,c\right)\right\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}.\end{aligned}}

La estructura de incidencia $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ se llama plano de Minkowski real clásico.^[2]

El conjunto de puntos consta de $\mathbb {R} ^{2}$ , dos copias de $\mathbb {R}$ y el punto $(\infty ,\infty )$ .

Cualquier línea recta $y=ax+b,a\neq 0$ se completa con el punto $(\infty ,\infty )$ ; y cualquier hipérbola $y={\frac {a}{x-b}}+c,a\neq 0$ se completa con los dos puntos $(b,\infty ),(\infty ,c)$ (véase la figura).

Dos puntos $(x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})$ no pueden conectarse mediante un ciclo si y solo si $x_{1}=x_{2}$ o $y_{1}=y_{2}$ .

Se define entonces:

Dos puntos $P_{1},P_{2}$ son (+)-paralelos ( $P_{1}\parallel _{+}P_{2}$ ) si $x_{1}=x_{2}$ y (-)-paralelos ( $P_{1}\parallel _{-}P_{2}$ ) si $y_{1}=y_{2}$ .

Ambas son relaciones de equivalencia en el conjunto de puntos.

Dos puntos $P_{1},P_{2}$ se llaman paralelos ( $P_{1}\parallel P_{2}$ ) si $P_{1}\parallel _{+}P_{2}$ o $P_{1}\parallel _{-}P_{2}$ .

De la definición anterior, se deduce que:

Lema:

Para cualquier par de puntos no paralelos $A,B$ existe exactamente un punto $C$ con $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$ .
Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ hay exactamente dos puntos $A,B\in z$ con $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$ .
Para tres puntos cualesquiera $A$ , $B$ , $C$ , no paralelos dos a dos, hay exactamente un ciclo $z$ que contiene $A,B,C$ .
Para cualquier ciclo $z$ , cualquier punto $P\in z$ y cualquier punto $Q,P\not \parallel Q$ y $Q\notin z$ existe exactamente un ciclo $z'$ tal que $z\cap z'=\{P\}$ , es decir, $z$ toca a $z'$ en el punto P.

Al igual que los planos clásicos de Möbius y Laguerre, los planos de Minkowski pueden describirse como la geometría de secciones planas de una cuádrica adecuada. Pero en este caso, la cuádrica se define en un espacio tridimensional 'proyectivo: el plano real clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide (cuádrica no degenerada de índice 2).

Axiomas de un plano de Minkowski[editar]

Sea $\left({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in \right)$ una estructura de incidencia con el conjunto ${\mathcal {P}}$ de puntos, el conjunto ${\mathcal {Z}}$ de ciclos y dos relaciones de equivalencia $\parallel _{+}$ ((+)-paralela) y $\parallel _{-}$ ((-)-paralela) en el conjunto ${\mathcal {P}}$ . Para $P\in {\mathcal {P}}$ , se define:

{\overline {P}}_{+}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{+}P\right\}

y

{\overline {P}}_{-}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{-}P\right\}

.

Una clase de equivalencia ${\overline {P}}_{+}$ o ${\overline {P}}_{-}$ se denomina (+)-generador y (-)-generador, respectivamente (para el modelo espacial del plano clásico de Minkowski, un generador es una línea sobre el hiperboloide).

Dos puntos $A,B$ se llaman paralelos ( $A\parallel B$ ) si son $A\parallel _{+}B$ o $A\parallel _{-}B$ .

Una estructura de incidencia ${\mathfrak {M}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ se denomina plano de Minkowski si se cumplen los siguientes axiomas:

C1: Para cualquier par de puntos no paralelos $A,B$ existe exactamente un punto $C$ con $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$ .
C2: Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ existen exactamente dos puntos $A,B\in z$ con $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$ .
C3: Para tres puntos cualesquiera $A,B,C$ , no paralelos dos a dos, hay exactamente un ciclo $z$ que contiene $A,B,C$ .
C4: Para cualquier ciclo $z$ , cualquier punto $P\in z$ y cualquier punto $Q,P\not \parallel Q$ y $Q\notin z$ existe exactamente un ciclo $z'$ tal que $z\cap z'=\{P\}$ , es decir, $z$ toca a $z'$ en el punto $P$ .
C5: Cualquier ciclo contiene al menos 3 puntos. Existe al menos un ciclo $z$ y un punto $P$ que no está en $z$ .

También se establecen otras declaraciones sobre clases paralelas (equivalentes a C1 y C2 respectivamente):

C1': Para dos puntos cualesquiera $A,B$ se tiene que $\left|{\overline {A}}_{+}\cap {\overline {B}}_{-}\right|=1$ .
C2': Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ se tiene que: $\left|{\overline {P}}_{+}\cap z\right|=1=\left|{\overline {P}}_{-}\cap z\right|$ .

Las primeras consecuencias de los axiomas son:

Lema

Para un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}$ se cumple lo siguiente:
• Cualquier punto está contenido en al menos un ciclo.
• Cualquier generador contiene al menos 3 puntos.
• Dos puntos pueden estar conectados mediante un ciclo si y sólo si no son paralelos.

De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre, se obtiene la conexión con la geometría del plano lineal a través de los residuos.

Para un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ y $P\in {\mathcal {P}}$ se define la estructura local

{\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus {\overline {P}},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{E\setminus {\overline {P}}\mid E\in {\mathcal {E}}\setminus \{{\overline {P}}_{+},{\overline {P}}_{-}\}\},\in )

, que se denomina residuo en el punto P.

Para el plano clásico de Minkowski, ${\mathfrak {A}}_{(\infty ,\infty )}$ es el plano afín real $\mathbb {R} ^{2}$ .

Una consecuencia inmediata de los axiomas C1 a C4 y C1′, C2′ son los dos teoremas siguientes.

Para un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel ,\in )$ , cualquier residuo es un plano afín.

Sea ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ una estructura de incidencia con dos relaciones de equivalencia $\parallel _{+}$ y $\parallel _{-}$ en el conjunto ${\mathcal {P}}$ de puntos (véase arriba).
Entonces, ${\mathfrak {M}}$ es un plano de Minkowski si y sólo si para cualquier punto $P$ el residuo ${\mathfrak {A}}_{P}$ es un plano afín

Modelo mínimo[editar]

El modelo mínimo de un plano de Minkowski se puede establecer sobre el conjunto ${\overline {K}}:=\{0,1,\infty \}$ de tres elementos:

{\mathcal {P}}:={\overline {K}}^{2}

{\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:\!&=\left\{\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\}\mid \{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}={\overline {K}}\right\}\\&=\{\{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,0),(1,\infty ),(\infty ,1)\},\\&\qquad \{(0,1),(1,0),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,1),(1,\infty ),(\infty ,0)\},\\&\qquad \{(0,\infty ),(1,1),(\infty ,0)\},\;\{(0,\infty ),(1,0),(\infty ,1)\}\}\end{aligned}}

En cuanto a los puntos paralelos, se tiene que:

$(x_{1},y_{1})\parallel _{+}(x_{2},y_{2})$ si y solo si $x_{1}=x_{2}$
$(x_{1},y_{1})\parallel _{-}(x_{2},y_{2})$ si y solo si $y_{1}=y_{2}$ .

De ahí que $\left|{\mathcal {P}}\right|=9$ y $\left|{\mathcal {Z}}\right|=6$ .

Planos finitos de Minkowski[editar]

Para planos de Minkowski finitos, se obtiene de C1′ y C2′:

Lema

Sea ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ un plano de Minkowski finito, por ejemplo $\left|{\mathcal {P}}\right|<\infty$ . Para cada par de ciclos $z_{1},z_{2}$ y para cada par de generadores $e_{1},e_{2}$ se tiene que:

$\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|e_{1}\right|=\left|e_{2}\right|$ .

Esto da lugar a la siguiente definición:

Para un plano finito de Minkowski ${\mathfrak {M}}$ y un ciclo $z$ de ${\mathfrak {M}}$ , el número entero $n=\left|z\right|-1$ se denomina el orden de ${\mathfrak {M}}$ .

Consideraciones combinatorias simples permiten deducir que:

Lema

Para un plano de Minkowski finito ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ se cumple que:
• Cualquier residuo (plano afín) tiene orden $n$
• $\left|{\mathcal {P}}\right|=(n+1)^{2}$
• $\left|{\mathcal {Z}}\right|=(n+1)n(n-1)$

Planos de Minkowski miquelianos[editar]

Los ejemplos más relevantes de planos de Minkowski se obtienen generalizando el modelo real clásico: simplemente, basta con reemplazar $\mathbb {R}$ por un cuerpo $K$ arbitrario y se obtiene en cualquier caso un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ .

De manera análoga a los planos de Möbius y de Laguerre, el teorema de Miquel es una propiedad característica de un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)$ .

Teorema (Miquel):

Para el plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)$ se cumple lo siguiente:

Si para cualquier 8 puntos no paralelos dos a dos

P_{1},...,P_{8}

que se pueden asignar a los vértices de un cubo de manera que los puntos en 5 caras correspondan a cuadrupletes concíclicos, entonces el sexto cuadruplete de puntos también es concíclico (para una mejor visión general en la figura se han empleado circunferencias en lugar de hipérbolas).

Teorema (Chen):

Solo un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)$ satisface el teorema de Miquel.

Debido a este último teorema, ${\mathfrak {M}}(K)$ se denomina plano miqueliano de Minkowski.

Observación:

El modelo mínimo de un plano de Minkowski es miqueliano.

Es isomorfo al plano de Minkowski

{\mathfrak {M}}(K)

con

K=\operatorname {GF} (2)

(campo

\{0,1\}

).

Un resultado sorprendente es que:

Teorema (Heise):

Cualquier plano de Minkowski de orden par es miqueliano.

Observación:

Una proyección estereográfica adecuada muestra que ${\mathfrak {M}}(K)$ es isomorfo a la geometría de las secciones planas en un hiperboloide de una hoja (cuádrica de índice 2) en el 3-espacio proyectivo sobre el campo $K$ .

Observación:

Hay muchos planos de Minkowski que no son miquelianos (véase el enlace web que figura a continuación). Pero no existen planos ovoidales de Minkowski, a diferencia de lo que sucede con los planos de Möbius y de Laguerre, dado que cualquier conjunto cuadrático de índice 2 en el espacio tridimensional proyectivo es una cuádrica (véase conjunto cuadrático).

Véase también[editar]

Geometría conforme

Referencias[editar]

↑ Andreas E Schroth (1995). Topological Circle Planes and Topological Quadrangles. CRC Press. pp. 73 de 168. ISBN 9780582288119. Consultado el 9 de octubre de 2023.
↑ Burkard Polster, Günter Steinke (2001). Geometries on Surfaces. Cambridge University Press. pp. 7 de 490. ISBN 9780521660587. Consultado el 9 de octubre de 2023.