Nefroide

La nefroide como una hipotrocoide es la línea roja

La nefroide es una curva plana cuyo nombre significa forma de riñón. Aunque el término nefroide fue usado para describir otras curvas, fue aplicado para esta por Richard Anthony Proctor (1837-1888), matemático inglés que en 1878 publicó "The geometry of cycloids" en Londres. Christiaan Huygens (1629-1695), en 1678, demostró que la nefroide es la catacáustica de un círculo cuando el rayo de luz está en el infinito. Publicó esto en el Traité de la lumiére en 1690.Una explicación de por qué esto debe ser, no se descubrió hasta que se conoció la teoría de la longitud de onda del rayo de luz. Demostró la prueba teórica en 1838.

Ecuaciones de la Nefroide

Ecuaciones paramétricas

Nefroide

Ecuaciones paramétricas para la nefroide mostrada a la derecha, con picos en el eje y, vienen dadas por

$x=a(3\cos t+\cos 3t),\quad y=a(3\sin t+\sin 3t).$

Cuando los picos están en el eje x, las ecuaciones paramétricas están dadas por:

$x=a(3\cos t-\cos 3t),\quad y=a(3\sin t-\sin 3t).$

Ecuación cartesiana

Una ecuación cartesiana para la nefroide sería

$(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.$

Propiedades de la Nefroide

Nota: todas las propiedades hacen referencia a la nefroide parametrizada por el primer par de ecuaciones mencionadas antes.' La longitud de arco y el área de la nefroide son, respectivamente,

$L=24a,\quad A=12\pi a^{2}.$

El radio de curvatura está dado por

$\rho =|3a\cos t|.$

La nefroide se puede ver como...

...la caustica de un círculo

Nefroide formada al proyectar rayos de luz desde un foco exterior a una circunferencia

La nefroide puede verse como una caustica de un círculo para los rayos proyectados desde un foco exterior a la circunferencia. En otras palabras, si un círculo refleja rayos paralelos de luz, el rayo reflectado nos daría una nefroide. En el vídeo, el rayo incidente se muestra en amarillo y los rayos reflejados en marrón. La nefroide aparece como la envolvente del haz de rayos reflejados.

...una envolvente de círculos

Nefroide como envolvente de círculos

Se genera una nefroide utilizando GeoGebra mediante circunferencias tangentes (rojo) a un diametro de una circunferencia mayor (azul)

Una nefroide puede crearse como una envolvente de círculos. Como se ve en la figura de la izquierda, se empieza con un círculo base (azul), y después se selecciona un punto en ese círculo (punto rojo). Con ese punto como centro, se dibuja un círculo (rojo) tangente al eje y. Cuando se dibujan varios círculos de esta forma, se produce la imagen de una nefroide.

Nota: En la figura, hay 36 círculos cuyos centros están espaciados 10 grados sobre el círculo base.

...una envolvente de líneas

Nefroide como envolvente de líneas

Una nefroide puede crearse como una envolvente de líneas. Se empieza con un círculo de radio a. Para varios valores de t, se unen los puntos que están a t grados y a 3t grados alrededor del círculo. En otras palabras, hay que unir los puntos $(a\cos t,a\sin t)$ y $(a\cos 3t,a\sin 3t).$ Estas líneas envuelven a la nefroide.

Nota: En la figura, se muestran 90 líneas correspondientes al parámetro t tomando como valores los múltiplos de 4.

...una epicicloide de dos picos

La nefroide como una epicicloide de dos picos es la línea roja

La nefroide es también una epicicloide de dos picos. En la figura, el círculo azul pequeño de radio a es tangente exterior del círculo mayor de radio 2a. Según el círculo pequeño va rodando a lo largo del círculo mayor sin deslizar, de forma que los dos arcos rojos son siempre de la misma longitud, el punto verde traza la nefroide.

Esta figura muestra la nefroide como una epicicloide de otra forma. El gran círculo azul de radio3 a es tangente interior al pequeño círculo negro de radio 2a. Según el círculo mayor rueda alrededor del círculo pequeño sin deslizar, de forma que los dos arcos rojos son siempre de la misma longitud, el punto verde traza una nefroide.

...de la nefroide

La evoluta...

Evoluta de la nefroide

La evoluta de la nefroide es otra nefroide de la mitad de tamaño y girada 90 grados. La nefroide original es así vista como una envolvente de sus círculos osculadores (gris). 2 círculos osculadores pueden verse en azul. Sus centros aparecen sobre la evoluta (nefroide roja pequeña:).

Nota: En la figura, hay 60 círculos correspondientes al parámetro t tomando como valores los multiplos de 6.

La Involuta...

Como la involuta de una nefroide es otra nefroide, se tiene que la involuta de la nefroide también es otra nefroide. La nefroide original (envolvente de círculos grises) en la imagen previa, es la involuta de la nefroide roja más pequeña.

La inversa...

Inversa de nefroide

La inversa con respecto al origen de la nefroide (en rojo) es la curva mostrada como la envolvente de círculos (en negro). Estos círculos son los inversos de aquellos que servían en una imagen anterior para describir la nefroide como una envolvente de círculos.

Al invertir respecto a un círculo de radio a, una ecuación cartesiana para la inversa es

$(a^{2}-4(x^{2}+y^{2}))^{3}=108a^{2}x^{2}(x^{2}+y^{2}).$

Referencias

Curvas en la historia.Autor : José Manuel Álvarez Pérez

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Nephroid». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Enlace externo a modo de ejemplo.