Evoluta

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Se llama evoluta de una curva "C" dada, al lugar geométrico de los centros de curvatura de "C".

Una elipse (en azul) y su evoluta (verde). El círculo que se mueve es el círculo osculador a la elipse, cuyo centro es el centro de curvatura. También se puede observar que la recta tangente a la evoluta es normal a la elipse, es decir, la evoluta es la envolvente de las normales a la elipse. La evoluta de una elipse se llama astroide.

Ecuaciones[editar]

Sea la curva formada por el conjunto de puntos (x,y) donde x e y son funciones dependientes de una variable, normalmente llamada t para hacer referencia al tiempo. Entonces se puede escribir las coordenadas de la evoluta de la forma

(X, Y)= \left({x-y'\frac{x'^2+y'^2}{x'y''-x''y'},\; y+x'\frac{x'^2+y'^2}{x'y''-x''y'}}\right).

donde a cada (x,y) - o lo que es lo mismo, a un valor de t que determina un punto de la curva - le corresponde un centro de curvatura (X,Y) en función de ese t. La relación entre ese punto y su centro de curvatura permite conocer el radio de curvatura (y por tanto su inversa, la curvatura):
R = 1/k = \frac{(x'^2+y'^2)^{3/2}}{x'y''-x''y'},

Si y=f(x), es decir, una variable depende de la otra, se puede simplificar observando los resultados de tomar x=t e y=f(t). Los centros de curvatura serán entonces:
 \left . \begin{matrix} x_C = & x- \displaystyle \frac {y'(1+y'^2)}{y''} \\ y_C = & y+ \displaystyle\frac {1+y'^2}{y''} \end{matrix} \right \} y el radio R = 1/k = \frac{(1+y'^2)^{3/2}}{y''}

Eliminando x e y entre ellas se tiene la ecuación de la evoluta:

F(x_C,y_C)=0

Ejemplos de evolutas[editar]

Evoluta de la elipse con a=1 y b=2.

Evoluta de la elipse (astroide)[editar]

Dada la elipse:

 \left . \begin{matrix} x = & a\ \cos\ t \\ y = & b\ \mathrm{sen}\ t \end{matrix} \right \}

Su evoluta viene dada por:

 \left . \begin{matrix} x = & \displaystyle\frac {a^2 - b^2}{a} \cos ^3 t \\ y = & \displaystyle\frac {b^2 - a^2}{b} \mathrm{sen}^3 t \end{matrix} \right \} que, eliminando el parámetro, queda: (ax)^\frac{2}{3} + (by)^\frac{2}{3} = (a^2 - b^2)^\frac{2}{3}

Enlaces externos[editar]