Medida progrediente

En teoría de la medida, una medida progrediente (también conocida como medida pushforward o medida de imagen) se obtiene transfiriendo (pushing forward "empujando hacia adelante") una medida de un espacio medible a otro utilizando una función medible.

Definición

Dados dos espacios medibles $(X_{1},\Sigma _{1})$ y $(X_{2},\Sigma _{2})$, una aplicación medible $f\colon X_{1}\to X_{2}$ y una medida $\mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]$, el pushforward ('progresión') de $\mu$ se define como la medida $f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]$ dada por

$f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)$ for $B\in \Sigma _{2}.$

Esta definición se aplica a «mutatis mutandis» para una medida signada o medida compleja.

La medida progrediente también se denota como $\mu \circ f^{-1}$, $f_{\sharp }\mu$, $f\sharp \mu$, o $f\#\mu$.

Propiedad principal: fórmula de cambio de variables

Teorema:​ Una función medible g en X₂ es integrable con respecto a la medida progrediente f_∗(μ) si y solo si la composición $g\circ f$ es integrable con respecto a la medida μ. En ese caso, las integrales coinciden, es decir,

$\int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .$

Téngase en cuenta que en la fórmula anterior $X_{1}=f^{-1}(X_{2})$.

Ejemplos y aplicaciones

• Una "medida de Lebesgue" natural en el círculo unitario S¹ (aquí considerado como un subconjunto del plano complejo C) puede definirse usando una construcción push-forward y una medida de Lebesgue λ en la recta real R. Sea λ también denotar la restricción de la medida de Lebesgue al intervalo [0, 2π) y sea f : [ 0, 2π) →  S¹ ser la biyección natural definida por f(t) = exp(i  t). La "medida de Lebesgue" natural sobre S¹ es entonces la medida push-forward f_∗(λ). La medida f_∗(λ) también podría llamarse "longitud de arco medida" o "medida de ángulo", ya que la medida f_∗(λ)-medida de un arco en S¹ es precisamente su longitud de arco (o, equivalentemente, el ángulo que subtiende en el centro del círculo).
• El ejemplo anterior se extiende muy bien para dar una "medida de Lebesgue" natural en el toro n-dimensional toro Tⁿ. El ejemplo anterior es un caso especial, ya que S¹ =  T'¹. Esta medida de Lebesgue sobre Tⁿ es, hasta la normalización, la medida de Haar para el compacto, conectado grupo de Lie Tⁿ.
• Medida gaussiana en espacios vectoriales de dimensión infinita se definen usando el empuje hacia adelante y la medida gaussiana estándar en la línea real: una medida de Borel γ en un separable espacio de Banach X se llama gaussiana si su progresión hacia adelante de γ por cualquier funcional lineal distinta de cero en el espacio dual continuo a X es una medida gaussiana en $\mathbb {R}$.
• Considere una función medible $f:X\to X$ y la composición de $f$ con ella misma $n$ veces:

$f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.$

Esta función iterada forma un sistema dinámico. A menudo es de interés en el estudio de tales sistemas encontrar una medida μ en X que el mapa f deja sin cambios, una llamada medida invariante, es decir, una para la cual f_∗(μ)  =  μ.

• También se puede considerar medida cuasi-invariantes para tal sistema dinámico: una medida $\mu$ en $(X,\Sigma )$ se llama quasi-invariant under $f$ si el empuje hacia adelante de $\mu$ por $f$ es simplemente equivalente a la medida original μ , no necesariamente igual a ella. Un par de medidas $\mu ,\nu$ en el mismo espacio son equivalentes si y solo si $\forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0$, por lo que $\mu$ es cuasi-invariante bajo $f$ si $\forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0$
• Muchas distribuciones de probabilidad natural, como la distribución ji cuadrado, se pueden obtener a través de esta construcción.
• Las variables aleatorias inducen medidas pushforward. Mapean un espacio de probabilidad en un espacio de codominio y dotan a ese espacio con una medida de probabilidad definida por el empuje hacia adelante. Además, debido a que las variables aleatorias son funciones (y por lo tanto funciones totales), la imagen inversa de todo el codominio es todo el dominio, y la medida de todo el dominio es 1, por lo que la medida de todo el codominio es 1. Esto significa que las variables aleatorias se pueden componer ad infinitum y siempre permanecerán como variables aleatorias y dotarán a los espacios codominio de medidas de probabilidad.

Una generalización

En general, cualquier función medible puede ser empujada hacia adelante, el empuje hacia adelante se convierte en un operador lineal, conocido como el operador de transferencia o operador de Perron-Frobenius. En espacios finitos este operador normalmente satisface los requisitos del teorema de Perron-Frobenius, y el valor propio máximo del operador corresponde a la medida invariante.

El adjunto al push-forward es el pullback; como operador en espacios de funciones en espacios medibles, es el operador de composición o operador de Koopman.

Véase también

• Sistema dinámico de preservación de medidas

Referencias

• Datos: Q860929