Medida (matemáticas)

En matemáticas, el concepto de medida es la generalización y formalización de las medidas geométricas y otras nociones como la probabilidad de los sucesos aleatorios. La medida es un concepto fundamental en teoría de la medida y teoría de la probabilidad.

Definición

Medida Sea $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ un espacio medible. Una medida sobre $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ es una aplicación $\mu :{\mathcal {A}}\to [0,+\infty ]$ (véase: recta real extendida) que verifica: La medida del conjunto vacío es cero: $\mu (\emptyset )=0$. $\sigma$-aditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos disjuntos es igual a la suma de las medidas. $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\cap A_{m}=\emptyset \,\,\forall n\neq m$ $\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n})$.

La terna $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ se denomina espacio de medida.

Ejemplos

• Medida contadora: la terna $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ),\mu )$ es un espacio de medida, donde:

  $\mu (A)=\left\{{\begin{aligned}\#A\quad &{\text{si }}A\neq \emptyset \\0\quad &{\text{si }}A=\emptyset \end{aligned}}\right.,\qquad \forall A\subseteq \Omega$.

  donde $\#A$ denota el número de elementos de $A$.

• Medida de Dirac: fijado un elemento $\omega \in \Omega$ la terna $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ),\delta _{\omega })$ es un espacio de medida, donde:

  $\delta _{\omega }(A)=\left\{{\begin{aligned}1\quad &{\text{si }}\omega \in A\\0\quad &{\text{si }}\omega \notin A\end{aligned}}\right.,\qquad \forall A\subseteq \Omega$.

• Medida de Lebesgue: definida en $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {M}})$, (donde ${\mathcal {M}}$ es la $\sigma$-álgebra de Lebesgue), es la única medida invariante por traslaciones que extiende la noción de longitud de los intervalos en $\mathbb {R}$.

Propiedades

Propiedades de las medidas Aditividad finita: $A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \,\,\forall i\neq j$ $\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})\quad \forall n\in \mathbb {N}$ Monotonía: $A,B\in {\mathcal {A}}:A\subset B$ $\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B)$ Continuidad creciente: $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\subseteq A_{n+1}\,\,\forall n\in \mathbb {N}$ $\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\lim _{n\to +\infty }\mu (A_{n})$ Continuidad decreciente: $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\supseteq A_{n+1}\,\,\forall n\in \mathbb {N} \,\,\land \,\,\mu (A_{1})<+\infty$ $\Rightarrow \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\lim _{n\to +\infty }\mu (A_{n})$ $\sigma$-subaditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos (no necesariamente disjuntos) es menor o igual a la suma de las medidas. $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}$ $\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n})$.

Medida exterior

Medida exterior Una medida exterior sobre $\Omega$ es una aplicación $\mu ^{*}:{\mathcal {P}}(\Omega )\to [0,+\infty ]$ que verifica: La medida del conjunto vacío es cero: $\mu ^{*}(\emptyset )=0$. Monotonía: $A,B\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A\subset B$ $\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)$. $\sigma$-subaditividad: $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {P}}(\Omega )$ $\Rightarrow \mu ^{*}\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu ^{*}(A_{n})$.

Toda medida definida en ${\mathcal {P}}(\Omega )$ es medida exterior, pero el recíproco no es cierto.

El interés de las medidas exteriores recae en que son fáciles de construir y en que se puede aplicar el teorema de Carathéodory para construir medidas a partir de ellas:

Teorema de Carathéodory Sea $\mu ^{*}$ una medida exterior sobre $\Omega$. La familia ${\mathcal {M}}=\{E\in {\mathcal {P}}(\Omega ):\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\setminus E)\quad \forall A\in {\mathcal {P}}(\Omega )\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ es una $\sigma$-álgebra sobre $\Omega$ $\mu =\mu ^{*}|_{\mathcal {M}}$ es una medida sobre $\Omega$. En definitiva, $(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu )$ es un espacio de medida.

Además, si $\mu ^{*}(E)=0$, entonces $E\in {\mathcal {M}}$ (y naturalmente $\mu (E)=0$), lo que implica que $(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu )$ es un espacio de medida completo.

Véase también

• σ-álgebra.
• Espacio medible.
• Espacio de medida.
• Teoría de la medida.

Referencias

Bibliografía

• Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin : Mesure, intégration, probabilités, Ellipses, 2013.
• Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
• A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, París, 1992.
• Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration, Ellipses 1995, ISBN 2-7298-9550-7.

• Datos: Q192276
• Multimedia: Measures (measure theory) / Q192276