Mediana (estadística)

Visualización geométrica de la moda, la mediana y de la media de una función arbitraria de densidad de probabilidad.

En el ámbito de la estadística, la mediana (del latín mediānus 'del medio'​) representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados. Se le denota mediana.

Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

Ejemplo.

7, 8, 9, 10, 11, 12

Me = 9,5 = (9+10)/2

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

Datos no agrupados

Sean $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}$ los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como $M_{e}$, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición $(n+1)/2$ una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque este es el valor central. Es decir: $M_{e}=x_{(n+1)/2}$.

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: $x_{1}=3$, $x_{2}=6$, $x_{3}=7$, $x_{4}=8$, $x_{5}=9$ => El valor central es el tercero: $x_{(5+1)/2}=x_{3}=7$. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo ($x_{1}$, $x_{2}$) y otros dos por encima de él ($x_{4}$, $x_{5}$).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando $n$ es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones $n/2$ y $(n/2)+1$. Es decir: $M_{e}=(x_{\frac {n}{2}}+x_{{\frac {n}{2}}+1})/2$.

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: $x_{1}=3$, $x_{2}=6$, $x_{3}=7$, $x_{4}=8$, $x_{5}=9$, $x_{6}=10$. Aquí dos valores que están por debajo del $x_{\frac {6}{2}}=x_{3}=7$ y otros dos que quedan por encima del siguiente dato $x_{{\frac {6}{2}}+1}=x_{4}=8$. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: $M_{e}={\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}={\frac {7+8}{2}}=7,5$.

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si ${\frac {n}{2}}$ coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

${\frac {N_{i}-N_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{p}}\Rightarrow p={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{N_{i}-N_{i-1}}}(a_{i}-a_{i-1})$

Donde $N_{i}$ y $N_{i-1}$ son las frecuencias absolutas acumuladas tales que $N_{i-1}<{\frac {n}{2}}<N_{i}$, $a_{i-1}$ y $a_{i}$ son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y $M_{e}=a_{i-1}+p$ es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que $a_{i}-a_{i-1}$ es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Ejemplos para datos sin agrupar

Ejemplo 1: cantidad (N) impar de datos

${\begin{array}{|ccc|}\hline x_{i}&f_{i}&N_{i}\\\hline 1&2&2\\2&2&4\\3&4&8\\4&5&13\\5&8&21>19,5\\6&9&30\\7&3&33\\8&4&37\\9&2&39\\\hline \end{array}}$

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de $39$ alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2
Frecuencia absoluta acumulada	2	4	8	13	21	30	33	37	39

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas $N_{i}$. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n impar, se obtiene $X_{(39+1)/2}=X_{20}$.

$N_{i-1}<{\frac {n}{2}}<N_{i}=N_{19}<19,5<N_{20}$

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar. En este ejemplo, $21$ (frecuencia absoluta acumulada para $X_{i}=5$) $>19,5$ con lo que $M_{e}=5$ puntos, la mitad de la clase ha obtenido un $5$ o menos, y la otra mitad un $5$ o más.

Ejemplo 2: cantidad (N) par de datos

${\begin{array}{|ccc|}\hline x_{i}&f_{i}&N_{i}\\\hline 1&2&2\\2&2&4\\3&4&8\\4&5&13\\5&6&19=19\\6&9&28\\7&4&32\\8&4&36\\9&2&38\\\hline \end{array}}$

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de $38$ alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	6	9	4	4	2
Frecuencia absoluta acumulada	2	4	8	13	19	28	32	36	38

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas $N_{i}$. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para $n$ par, se obtiene la siguiente fórmula: $X=n/2\Rightarrow X=(38/2)\Rightarrow X=19$ (Donde $n=38$ alumnos divididos entre dos).

$N_{i-1}<{\frac {n}{2}}<N_{i}=N_{18,5}<19<N_{19,5}$

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el $5$ y el vigésimo el $6$ con lo que $M_{e}=(5+6)/2=5,5$ puntos, la mitad de la clase ha obtenido un $5,5$ o menos y la otra mitad un $5,5$ o más.

Método de cálculo general

xi	fi	Ni
[x11-x12]	f1	N1
.	.	.
.	.	.
.	.	N(i-2)
[x(i-1)1-x(i-1)2]	f(i-1)	f(i-1)+N(i-2)=$N_{i-1}$
[xi1-xi2]	$f_{i}$	fi+Ni-1=Ni
[x(i+1)1-x(i+1)2]	f(i+1)	f(i+1)+Ni=N(i+1)
.	.	.
.	.	.
.	.
[xM1-xM2]	fM	fM+N(M-1)=NM

Consideramos:

- x₁₁ valor mínimo< Entonces:

$Mediana=x_{i1}+\left({\cfrac {(N_{M}/2)-N_{i-1}}{f_{i}}}\right).(x_{i2}-x_{i1})$

donde:

$x_{i1}$ = es el límite inferior de la clase de la mediana.

$\left({\cfrac {N_{M}}{2}}\right)$ = es la posición de la mediana.

$N_{i-1}$ = es la frecuencia acumulada de la clase premediana.

$f_{i}$ = es la frecuencia absoluta de la clase de la mediana.

$(x_{i2}-x_{i1})$ = $A_{i}$ = Amplitud del intervalo de la clase de la mediana.

Véase también

• Desviación estándar
• Frecuencia
• Moda (estadística)
• Media (matemáticas)
• Media aritmética o promedio
• Parámetro estadístico
• Valor esperado

Enlaces externos

• Simulación de la mediana de una variable discreta con R (lenguaje de programación)

Referencias

• Datos: Q226995
• Multimedia: Median / Q226995