Matriz normal

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Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

A^{*}A=AA^{*}\,

donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Ejemplos[editar]

Esta matriz de orden 2 es normal.

\begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}

debido a que ..

\begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
i & i \\
i & -i \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 &  2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
i & i \\
i & -i \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}^*\begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}

Propiedades[editar]

Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.

Demostración[editar]

Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:

A= QUQ^*


Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior. Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:

  • a_{k1} = 0 \forall k=2, .. , n (1)
  • a_{k2} = 0  \forall k=3, .. , n (2)
  • ...
  • a_{k n-1} = 0  con \, \, k=n (n-1)


Usando el hecho que A es normal:

A^{*}A=(QUQ^*)^{*}(QUQ^*)=QU^*(Q^*Q)_{(a)}UQ^*= QU^*UQ^*

Idénticamente.

(QUQ^*)(QUQ^*)^{*} = QUU^*Q^*

Postmultiplicando por Q y luego premultiplicando por Q^* obtenemos: U^*U = UU^*

Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:


\begin{matrix} &  & 

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &   & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{bmatrix} 


\\ 

U^*U = \begin{bmatrix} \overline{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\  \overline{a_{12}} & \overline{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots &   & \ddots & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{n-1n}} & \overline{a_{nn}} \end{bmatrix} 


&  &  \end{matrix}



\begin{matrix} &  & 

\begin{bmatrix} \overline{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\  \overline{a_{12}} & \overline{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots &   & \ddots & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{n-1n}} & \overline{a_{nn}} \end{bmatrix} 

\\ 

UU^* = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &   & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{bmatrix} 

&  &  \end{matrix}


Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.

(U^*U)_{ii} = \sum_{j=1}^n { a_{ij}\cdot \overline{a_{ji}} } =  \sum_{j=1}^n {\|a_{ij}\|^2}


(UU^*)_{ii} = \sum_{j=1}^n { \overline{a_{ij}}\cdot a_{ji} } = \sum_{j=1}^n {\|a_{ji}\|^2}

Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)

  • Caso i=1: (U^*U)_{11} = (UU^*)_{11}


 \sum_{j=1}^n {\|a_{1j}\|^2}=\sum_{j=1}^n {\|a_{j1}\|^2}


Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.

\|a_{11}\|^2 + \sum_{j=2}^n {\|a_{1j}\|^2}=\|a_{11}\|^2 + \sum_{j=2}^n {\|a_{j1}\|^2}


Usando (1)

 \sum_{j=2}^n {\|a_{1j}\|^2} = 0

Por lo tanto,  a_{1j} = 0 \forall j=2, .. , n

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]