Mariposa de Hofstadter

En física de la materia condensada, la mariposa de Hofstadter se refiere a las propiedades del espectro de energía de electrones en una red cristalina en presencia de un campo magnético. La figura, que presenta autosimilitud y comportamiento fractal, fue descubierta por Douglas Hofstadter en 1976.​

La mariposa de Hofstadter jugó un rol histórico esencial en la teoría del efecto Hall cuántico y de la topología cuántica.

Teoría

Mariposa de Hofstadter. Este fractal aparece cuando se gráfica la energía de los electrones en una malla bidimensional en función del flujo magnético a través de una celda de la malla.

Hofstadter en su estudio de electrones sin interacción en una malla cuadrada de constante $a$, considero la relación de dispersión en un modelo de enlace fuertes, tal que

$E(\mathbf {k} )=E_{0}(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a),$

donde $E(\mathbf {k} )$ es la energía, $\mathbf {k} =(k_{x},k_{y})$ es el vector de onda asociado a la malla, y $E_{0}$ un parámetro empírico. Bajo influencia de un campo magnético homogéneo y constante $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$, donde $\mathbf {A}$ es el potencial vectorial electromagnético, uno puede introducir un cambio en la energía haciendo la sustitución siguiente: $\hbar \mathbf {k} \to \mathbf {p} -q\mathbf {A}$, donde $\mathbf {p} =(p_{x},p_{y})$ es el operador cantidad de movimiento y $q=-e$ es la carga del electrón. Por conveniencia Hofstadter escoge el gauge $\mathbf {A} =(0,Bx,0)$.

La ecuación de Schrödinger resultante, luego de considerar efectos de simetría y de traslación es la siguiente:

$g_{n}+g_{n-1}+2\cos(2\pi n\alpha -\nu )g_{n}=\epsilon g_{n},$

donde $\epsilon =2E/E_{0}$ y $\alpha =\phi (B)/\phi _{0}$ , donde $\phi (B)=Ba^{2}$ es proporcional al flujo magnético a través de una celda de la malla y $\phi _{0}=2\pi \hbar /q$ es el cuanta del flujo magnético. La función de onda del electrón esta dada por $\psi (x,y)=\psi (na,ma)=g_{n}e^{i\nu m}$, donde $n,m$ son número enteros.

Esta última relación de recurrencia, se conoce como la ecuación de Harper. La mariposa de Hofstadter representa las solución gráfica de los posibles valores de $\epsilon$ en función del flujo $\alpha$.​

Confirmaciones experimentales

Christian Albrecht, Klaus von Klitzing y colaboradores realizaron una ejecución experimental en 2001 de la mariposa de Hofstadter. Lograron comprobar la predicción de David J. Thouless y de sus colaboradores que indicaba que la conductancia eléctrica debe estar cuantificada (ver efecto Hall cuántico).​

Dos equipos independientes demostraron el patrón de mariposa de Hofstadter en muestras de grafeno en 2013.​

En 2017, equipos académicos en colaboración con Google, demostraron la predicción de Hofstadter en simuladores cuánticos en cúbits superconductores.​

Referencias

• Datos: Q2913166
• Multimedia: Hofstadter's butterfly / Q2913166