Ley de Stefan-Boltzmann

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Gráfica de una función de la energía total emitida por un cuerpo negroj^{\star}, proporcional a su temperatura termodinámica T\,. En azul está la energía total de acuerdo con la aproximación de Wien,  j^{\star}_{W} = j^{\star} / \zeta(4) \approx 0.924 \, \sigma T^{4} \!\,

La ley de Stefan-Boltzmann establece que un cuerpo negro emite radiación térmica con una potencia emisiva hemisférica total (W/m²) proporcional a la cuarta potencia de su temperatura:

E = \sigma \cdot T_e^4\,

Donde Te es la temperatura efectiva, es decir, la temperatura absoluta de la superficie y sigma es la constante de Stefan-Boltzmann:  \sigma = 5,67\times 10^{-8} \rm\textstyle \frac{W}{m^2 \cdot K^4}

Esta potencia emisiva de un cuerpo negro (o radiador ideal) supone un límite superior para la potencia emitida por los cuerpos reales.

La potencia emisiva superficial de una superficie real es menor que el de un cuerpo negro a la misma temperatura y está dada por:

E = \varepsilon \cdot \sigma \cdot T_e^4 \,

Donde epsilon (ε) es una propiedad radiactiva de la superficie denominada emisividad. Con valores en el rango 0 ≤ ε ≤ 1, esta propiedad es la relación entre la radiación emitida por una superficie real y la emitida por el cuerpo negro a la misma temperatura. Esto depende marcadamente del material de la superficie y de su acabado, de la longitud de onda, y de la temperatura de la superficie.

Historia[editar]

La ley fue deducida en 1879 por el físico austriaco Jožef Stefan (1835-1893) basándose en las mediciones experimentales realizadas por el físico irlandés John Tyndall y fue derivada en 1884 a partir de consideraciones teóricas por Ludwig Boltzmann (1844-1906) usando la termodinámica. Boltzmann consideró un cierto ideal motor térmico con luz como fuente de energía en lugar de gas. La ley es muy precisa sólo para objetos negros ideales , los radiadores perfectos, llamados cuerpos negros; funciona como una buena aproximación para la mayoría de los cuerpos grises. Stefan publicó esta ley en el artículo «Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur» (Sobre la relación entre la radiación y la temperatura térmica) en el Boletín de las sesiones de la Academia de Ciencias de Viena.

Demostración[editar]

Demostración matemática[editar]

Esta ley no es más que la integración de la distribución de Planck a lo largo de todas las longitudes de onda del espectro de frecuencias:

Eb = \int_0^\infty {C_1 \over \lambda^5 \cdot (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)}d\lambda \,

Donde las constantes valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS:

 C_1=2 \pi h c^2=3,742 \cdot 10^{-16}\; {\rm W \cdot m^2} \,

 C_2={h c \over k}=1,439 \cdot 10^{-2}\; {\rm m \cdot K}

Puede demostrarse haciendo la integral que:

Eb = \int_0^\infty {C_1 \over \lambda^5 \cdot (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)}d\lambda=\frac{\pi^4\cdot c_1}{15\cdot c_2 ^4} \cdot T^4 \,

Por lo que la constante de Stefan-Boltzmann depende de otras constantes fundamentales en la forma:

 \sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.6704 \cdot 10^{-8}\; \rm\frac {W}{m^2 \cdot K^4}

Experimento del cubo de Leslie[editar]

La ley de Stefan-Boltzmann queda bastante clara con el experimento del cubo de Leslie:

En general en la emisión radiante a altas temperaturas se desprecia el efecto de la temperatura del orden de la temperatura ambiente a la que se encuentran los objetos circundantes. Sin embargo debemos tener en cuenta que esta práctica estudia esta ley a bajas temperaturas para las cuales no se puede obviar la temperatura ambiente. Esto hace ver que como el detector del sensor de radiación (una termopila no está a 0 K) irradia energía radiante y una intensidad proporcional a ésta es la que mide, luego si la despreciamos estamos falseando el resultado. Su radiación se puede cuantificar de forma proporcional a su temperatura absoluta a la cuarta potencia:

R_\det \ = \sigma \cdot T_\det ^4 \,

De esta forma podemos conocer la radiación neta que mide a partir del voltaje generado por el sensor sabiendo que es proporcional a la diferencia de radiación entre la absorbida y la emitida, es decir:

R_\mathrm{net} = R_\mathrm{rad} - R_\det = \sigma \cdot (T^4 - T_\det ^4)\,

Por último haciendo una serie de suposiciones, como puede ser evitar que el sensor se vea influenciado por la radiación del cubo de Leslie cuando no sea necesario, tomar mediciones (podemos alejarlo), y sólo entonces podremos considerar que la temperatura del detector es la del ambiente. Con alejarlo cuando sea innecesario esta hipótesis puede ser suficiente.

Ejemplos[editar]

Primera determinación de la temperatura del Sol[editar]

Utilizando su ley Stefan determinó la temperatura de la superficie del Sol. Tomó los datos de Charles Soret (1854–1904) que determinó que la densidad del flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad del flujo de energía de una fina placa de metal caliente. Puso la placa de metal a una distancia del dispositivo de la medición que permitía verla con el mismo ángulo que se vería el Sol desde la Tierra. Soret estimó que la temperatura de la placa era aproximadamente 1900 °C a 2000 °C. Stefan pensó que el flujo de energía del Sol es absorbido en parte por la atmósfera terrestre, y tomó para el flujo de energía del Sol un valor 3/2 veces mayor, a saber 29 \cdot \frac{3}{2}= 43,5

Las medidas precisas de la absorción atmosférica no se realizaron hasta 1888 y 1904. La temperatura que Stefan obtuvo era un valor intermedio de los anteriores, 1950 °C ( 2223 K). Como 2,574 = 43,5, la ley de Stephan nos dice que la temperatura del Sol es 2,57 veces mayor que la temperatura de una placa de metal, así que Stefan consiguió un valor para la temperatura de la superficie del Sol de 5713 K (el valor moderno es 5780 K). Éste fue el primer valor sensato para la temperatura del Sol. Antes de esto, se obtuvieron valores tan pequeños como 1800 °C o tan altos como 13.000.000 °C. El valor de 1800 °C fue hallado por Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) en 1838. Si nosotros concentramos la luz del Sol con una lente, podemos calentar un sólido hasta los 1800 °C.

Las temperaturas y radios de las estrellas[editar]

La temperatura de las estrellas puede obtenerse suponiendo que emiten radiación como un cuerpo negro de manera similar que nuestro Sol. La luminosidad L de la estrella vale:

L = 4 \pi R^2 \sigma T^4 \,

donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann , R es el radio estelar y T es la temperatura de la estrella.

Esta misma fórmula puede usarse para computar el radio aproximado de una estrella de la secuencia principal y, por tanto, similar al Sol:

\frac{R}{R_\odot} \approx \left ( \frac{T_\odot}{T} \right )^{2} \cdot \sqrt{\frac{L}{L_\odot}}

donde R_\odot es el radio solar.

Con la ley de Boltzmann, los astrónomos puede inferir los radios de las estrellas fácilmente. La ley también se usa en la termodinámica de un agujero negro en la llamada radiación de Hawking.

La temperatura de la Tierra[editar]

Podemos calcular la temperatura de la Tierra T_e \, igualando la energía recibida del Sol y la energía emitida por la Tierra. El Sol emite una energía por unidad de tiempo y área que es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura T_s \,. A la distancia de la Tierra a0 (unidad astronómica), esa potencia ha disminuido en la relación entre la superficie del Sol y la superficie de una esfera de radio a0. Además el disco de la Tierra intercepta esa radiación pero debido a la rápida rotación de la Tierra es toda la superficie de la Tierra la que emite la radiación a una temperatura T_e \, con lo que dicha potencia queda disminuida en un factor 4. Por ello:

\left(\frac {T_e}{T_s}\right)^4=\frac {1}{4} \cdot \left(\frac {r_s}{a_0}\right)^2

donde  r_s \, es el radio del Sol. Por ello:

T_e \,  = T_s \sqrt{r_S\over 2 a_0 } = 5780 \; {\rm K} \cdot \sqrt{696 \times 10^{6} \; {\rm m} \over 2 \times 149.59787066 \times 10^{9} \,{\rm m} }= 278 \, {\rm K}

Resulta una temperatura de 5 °C. La temperatura real es de 15 °C.

Resumiendo: La distancia del Sol a la Tierra es 215 veces el radio del Sol, reduciendo la energía por metro cuadrado por un factor que es el cuadrado de esa cantidad, es decir 46.225. Teniendo en cuenta que la sección que interfiere la energía tiene un área que es 1/4 de su superficie, vemos que disminuye en 184.900 veces. La relación entre la temperatura del Sol y la Tierra es por tanto 20,7, ya que 20,7 4 es 184.900 veces.

Esto muestra aproximadamente por qué T ~ 278 K es la temperatura de nuestro mundo. El cambio más ligero de la distancia del Sol podría cambiar la temperatura media de la Tierra.

En el cálculo anterior hay dos defectos. Parte de la energía solar es reflejada por la Tierra que es lo que se denomina albedo y esto disminuye la temperatura de la Tierra hecho por el cálculo anterior hasta -18 °C y parte de la energía radiada por la Tierra que tiene una longitud larga, entre 3 y 80 micras, es absorbida por ciertos gases llamados "de efecto invernadero", calentando la atmósfera hasta la temperatura actual. El llamado efecto invernadero es entonces, vital para la vida en el planeta.

Para calcular la constante solar o energía emitida por el Sol por unidad de tiempo y área a la distancia de la Tierra basta con dividir esta energía por 46.225 resulta:

 K=\sigma \cdot T_s^4 \cdot \left(\frac {r_s}{a_0}\right)^2 = 1366\; \rm\frac{W}{m^2}

Intercambios radiativos entre cuerpos negros[editar]

El flujo de calor se obtiene de la siguiente manera:

q = A \cdot E = A \cdot \varepsilon \cdot \sigma \cdot T_e^4 \,

Para el cálculo de intercambios radiativos de dos cuerpos negros, hay que afectar a la expresión anterior por el llamado factor de forma F, el cual indica que fracción de la energía total emitida por una superficie es interceptada (absorbida, reflejada o transmitida) por otra superficie, es un concepto puramente geométrico. La expresión final es de la forma:

q_{1-2} =A_1 \cdot F_{12} \cdot \sigma \cdot T_1^4 \,

q_{2-1} =A_2 \cdot F_{21} \cdot \sigma \cdot T_2^4 \,

q_{12}=q_{1-2}-q_{2-1} = A_1 \cdot F_{12} \cdot \sigma \cdot (T_1^4-T_2^4) \,

Hay que tener en cuenta que se cumple A_1 \cdot F_{12}=A_2 \cdot F_{21}

Para superficies reales (con emisividad menor a 1) hay que tener en cuenta que además de emitir, la superficie refleja energía, para ello se define J como la radiosidad, que es la suma de la energía emitida y la reflejada.

q_{1-2} =A_1 \cdot F_{12} \cdot J_1 \,

q_{2-1} =A_2 \cdot F_{21} \cdot J_2 \ \,

q_{12}=q_{1-2}-q_{2-1} = A_1 \cdot F_{12} \cdot (J_1-J_2) \,

En el caso particular de un cuerpo negro se cumple que J = E

Ejemplo:

Para una cavidad cerrada compuesta por dos superficies reales, el intercambio radiativo es:

q_{12}={{\sigma \cdot (T_1^4-T_2^4)} \over\displaystyle {1-\varepsilon_1 \over {\varepsilon_1 \cdot A_1}}+{1 \over A_1 \cdot F_{12}}+{1-\varepsilon_2 \over \varepsilon_2 \cdot A_2}}   \,

Véase también[editar]