Ley de Planck

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Ley de Planck para cuerpos a diferentes temperaturas.
Curvas de emisión de cuerpos negros a diferentes temperaturas comparadas con las predicciones de la física clásica anteriores a la ley de Planck.

La intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro (o radiancia espectral) con una cierta temperatura T y frecuencia \nu, I(\nu ,T), viene dada por la ley de Planck:

I(\nu ,T) = \frac{2h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}

El siguiente cuadro muestra la definición de cada símbolo en unidades de medidas del SI y CGS:

Símbolo Significado Unidades SI Unidades CGS
 I, I' \, Radiancia espectral, o es la cantidad de energía por unidad de superficie, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido por unidad de frecuencia o longitud de onda (tal como se especifique) J m-2 sr-1 erg cm-2 sr-1
 \nu \, frecuencia hercios (Hz) hercios
 \lambda \, longitud de onda metro (m) centímetros (cm)
 T \, temperatura del cuerpo negro kelvin (K) kelvin
 h \, Constante de Planck julio x segundo (J s) ergio x segundo (erg s)
 c \, velocidad de la luz metros / segundo (m / s) centímetros / segundo (cm / s)
 e \, base del logaritmo natural, 2,718281 ... adimensional adimensional
 k \, Constante de Boltzmann julios por kelvin (J / K) ergios por kelvin (erg / K)

La expresión I(\nu)\delta\nu \, , se define como la cantidad de energía por unidad de área, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido emitida en el rango de frecuencias entre \nu \, y \nu + \delta \nu \, .

La longitud de onda en la que se produce el máximo de emisión viene dada por la ley de Wien y la potencia total emitida por unidad de área viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann. Por lo tanto, a medida que la temperatura aumenta el brillo de un cuerpo cambia del rojo al amarillo y al azul.

Es común encontrar en la literatura la radiancia espectral del cuerpo negro definida también como B_\nu(T) .

Poder emisivo[editar]

Se llama Poder emisivo espectral de un cuerpo E(\nu, T) \, a la cantidad de energía radiante emitida por la unidad de superficie y tiempo entre las frecuencias \nu \, y \nu + \delta \nu \, . Se trata por tanto de una potencia.

E(\nu ,T)= 4\pi \cdot I(\nu , T)=\frac{8\pi h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}

Consideremos el intervalo de frecuencias entre \nu \, y \nu + \delta \nu \, y sea dE el poder emisivo del cuerpo en el intervalo de frecuencias.

dE=E(\nu ,T) d \nu \,

considerando que la longitud de onda se relaciona con la frecuencia:

\lambda=\frac{c}{\nu},     y por tanto     \quad d\nu=\frac{-c}{(\lambda)^2}d\lambda

En este punto hay que tener en cuenta que un incremento en frecuencia supone una disminución en longitud de onda. Luego:

E(\lambda, T) d \lambda = - E(\nu, T) d \nu  ,     que conduce a    E(\lambda, T) = - \frac{d \nu}{d \lambda} E(\nu, T)

finalmente, el poder emisivo espectral en función de la longitud de onda es:

 E(\lambda,T)={C_1 \over \lambda^5 \cdot (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)}

donde las constantes valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS:

 C_1=2 \pi h c^2=3,742 \cdot 10^{-16}\; {\rm W \cdot m^2}
 C_2={h c \over k}=1,4385 \cdot 10^{-2}\; {\rm m \cdot K}

De la Ley de Planck se derivan la ley de Stefan-Boltzmann y la ley de Wien.

Unidades[editar]

Si usamos el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS, la longitud de onda se expresaría en metros, el poder emisivo en un intervalo de frecuencias dE en \frac{W}{m^2} y el poder emisivo por unidad de longitud o poder emisivo espectral  E(\lambda ,T)=\frac{dE}{d\lambda} en \frac{W}{m^3} vatios por metro cúbico.


No es común expresar la longitud de onda en metros. Con frecuencia resulta cómodo expresarla en nanómetros llamados antiguamente milimicras 1 nm=10^{-9}m , pero manteniendo la unidad de dE en \frac{W}{m^2}, en este caso:

 \frac {C_1 \cdot d\lambda }{\lambda ^5}=3,742 \cdot 10^{20} {W \cdot m^2} \cdot \frac {d\lambda (nm)}{\lambda ^5 (nm)}\,
 \frac {C_2}{\lambda }=1,439 \cdot 10^7 \frac {m \cdot K}{\lambda (nm)}


Si queremos expresar el poder emisivo espectral  E(\lambda ,T) \, en la unidad práctica \frac{cal}{cm^2 \cdot mto \cdot \mu m}, donde 1 \mu m=10^{-6}m es 1 micrómetro o micra se puede usar el factor de conversión:

1 \frac{W}{m^3}=1,434 \cdot 10^{-9}\frac{cal}{cm^2 \cdot mto \cdot \mu m}

Ejemplos de la ley de Planck[editar]

  • La aplicación de la Ley de Planck al Sol con una temperatura superficial de unos 6000 K nos lleva a que el 99% de la radiación emitida está entre las longitudes de onda 0,15 \mu m (micrómetros o micras) y 4 micras y su máximo (Ley de Wien) ocurre a 0,475 micras. Como 1 nanómetro 1 nm = 10-9 m=10-3 micras resulta que el Sol emite en un rango de 150 nm hasta 4000 nm y el máximo ocurre a 475 nm. La luz visible se extiende desde 380 nm a 740 nm. La radiación ultravioleta u ondas cortas iría desde los 150 nm a los 380 nm y la radiación infrarroja u ondas largas desde las 0,74 micras a 4 micras.
  • La aplicación de la Ley de Planck a la Tierra con una temperatura superficial de unos 288 K (15 °C) nos lleva a que el 99% de la radiación emitida está entre las longitudes de onda 3 \mu m (micrómetros o micras) y 80 micras y su máximo ocurre a 10 micras. La estratosfera de la Tierra con una temperatura entre 210 y 220 K radia entre 4 y 120 micras con un máximo a las 14,5 micras.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]

  • Al descubierto un fallo en la Ley de Planck "[1]"

Bibliografía[editar]

  • Emilio A. Caimi "La energía radiante en la atmósfera" EUDEBA 1979